华东师范大学1998年概率统计研究生入学考试试题
1． 一张考卷上有5道单项选择题，如果每道选择题有三个可选答案，则纯靠猜测能答对至
少四道题的概率多大？如果每道题有四个可选答案，则至少答对4道题的概率多大？ 2． 口袋中有a个白球，b个黑球，从中任取n个。记Aj为抽到第j个球为白球的事件，Bk为超到的n个球中恰有k个白球的事件，。试在返回抽取或不返回抽取的情况下，分别求P(Aj|Bk)。
3． 设r.v.?1,?2,?,?n相互独立，并且?i服从参数为?i?0的指数分布，i?1,2,?,n。试
求以下概率：P(?1?min(?1,?2,?,?n))。
4． 设r.v.?与?独立，都服从参数为1的指数分布。令U????,V?V独立否？为什么？
5． 设电力公司每月可供某厂的电力?（单位：万度）服从[10，30]上的均匀分布，而该厂
实际需要电力?（单位：万度）服从[10，20]上的均匀分布。如果该厂得到足够的电力，则每万度电可创利30万元。如果该厂得不到足够的电力，则不足部分通过议价获得。通过议价获得的电，每万度电只能获利10万元。设?与?相互独立。试求该厂每月的平均利润。
6． 设r.v.?与?独立同分布，都服从N(0,?)，令U??????,V??????，其中?与
2????。试问：U与
?是已知的非零常数，求U与V的相关系数。
1ni7． 设?1,?2,?,?n独立同分布，P(?i?1)?p,P(?i?0)?1?p。记Xn?25n??ni?1。试证：
P(|Xn?P|?0.1)?。
1ni8． 设?1,?2,?,?n,?n?1为来自N(?,?)的样本。令：?n??n?1??nSn2??ni?1，Sn?(??ni?11ni??)。
2试求统计量
n?1n?1 的分布。
9． 设?1,?2,?,?n为来自帕累托分布的样本。帕累托分布的密度函数为：
?????1?()f(x)???x?0?x??x
其中??0,??0。试在?已知时，求?的极大似然估计。
10． 轴承内环的锻压零件的长度??N(?,0.42)。试问：从中抽取多少只零件，才能使?的置信水平为95%的置信区间的长度不大于L。若L＝0.5，则需抽多少只零件？
华东师范大学1999年概率统计研究生入学考试试题
1．n个人随机地排成一列，求以下时间的概率： （a）甲、乙两人紧挨着。
（b）甲、乙两人之间有k个人(0?k?n?2)。
2．射手甲、乙、丙独立地向靶子各射击一次，他们的命中率分别是0.6，0.5，0.4。现已知
有二个人命中靶子，问：
（a） 此二人中包括乙的可能性大，还是包括丙的可能性大？ （b） 此二人中包括丙的可能性大，还是不包括丙的可能性大？
3．设0?P(A)?1,0?P(B)?1, 已知P(A|B)?P(A|B)，求证：P(B|A)?P(B|A)。 4．从[0，1]中任取二个数，试求此二个数的和小于1，且此二个数的积小于
29的概率。
5. 设X1,X2,?,Xn,?为独立同分布的随机变量系列，且Xi的密度函数为：
?5e?5xfXi(x)???0x?0x?0，i?1,2,?
N为取正整数的r.v.，且N与Xi独立（i?1,2,?）。如果E(X1?X2???XN)?20，
试求E(N)
,6．设X1,X2?,X1为相互独立的[0，1]上的均匀分布的r.v.。记
??min{X1,X2,?,X10},??max{X1,X2,?,X10}，试求cov(?,?)。
7. 某种产品的次品率为0.1，从这批产品中任取100只，在99.85%的把握下，求此100只
产品中至少有多少只正品。
8．设母体X服从N(0,1)，子样(X1,X2)来自此母体X。试求常数k，使得
P((X1?X2)222(X1?X2)?(X1?X2)（结果用某分布的分位点表示）。 ?k)?0.1，
9．设母体X服从N(?,?2)，子样(X1,X2,?,Xn)来自此母体X。试在统计量类：
n{c?(Xi?X);c?0}
i?12 中求?2
?的均方误差为的一个均方误差最小的估计量。（参数?的估计量?M.S.E????2)） E?(10．设母体X服从N(?,1)，子样(X1,X2,?,Xn)来自此母体X。待检验的假设为：
?H0:??1 ?H:??0?1 要构造第一类错误的概率??0.01的检验法，且使得犯第二类错误的概率?不超过
0.01，字样容量n至少应取多大？（结果用某分布的分位点表示）。
华东师范大学2000年概率统计研究生入学考试试题
1． 设P(A)?0.6,P(B)?0.8，试证：P(B|A)?0.5，且当P(B|A)?0.5时，试求
P(A|B)。
2． 口袋中有a只白球、b只黑球，从中有返回的一只一只取球，且每次将球返回时再加入
c只与此返回的球颜色相同的球。求第n次取到白球的百率。 3． 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
?e?yf(x)???00?x?y其他，试求P{X?2Y?1}和P{X?2|Y?4}。
4． 设X1,X2,?,Xn独立同分布，Xi?N(?,?2)，试求一下随机变量的分布： i?1,?,n。
1nn[?(i?1Xi???)]；
2?(ni?11nXi??2?)；?(X(n)???)，其中?(x)为标准正态分布的分
布函数，X(n)?max(X1,?,Xn)。
5. 设X1,X2,?,Xn独立通分布，且P(Xi?1)??,P(Xi??1)?1??,i?1,2,?,n。
试证：P{??1??2ni?11nXi??}?n?1n.
6. 设X1,X2,?,Xn独立通分布，Xi服从（0，1）上的均匀分布，N服从??1的泊松分
NN布，且N与Xi独立，i?1,2,?,n。试求：E(?Xi)与Var(?Xi)。
i?1i?17． 一工厂生产某种产品，售出一件可获利1万元，如没有售出则一件损失1万元。此种产
品每件可售出的概率为0.9，现生产了100件此种产品，如以95%的把握，问此工厂至少可获利多少万元？
228．设有一个二元正态总体N(?1,?2,?1,?2,?)，从中获得样本(Xi,Yi),i?1,?,n.记
X?X?ni?11ni,Y?Y,?nii?11nS2X?(X?ni?11ni?X);2S?2Y(Y?ni?11ni?Y);2n?(Xr?i?1ni?X)(Yi?Y);n，试求：(Yi?Y)2X?Y?(?1??2)S?S?2rSXSY2X2Yn?1的分布。
?i?1(Xi?X)2?i?129．设Y1,Y2,?,Yn相互独立，Yi服从N(??i,?)分布，i?1,?,n.其中?1,?2,?,?n为已
知常数。
?、?。 （1） 试求?、?的极大似然估计?2
2??22?是否为?的无偏估计？?（2） ?是否为?的无偏估计？若是请证明，若不是请由
此构造一个无偏估计。
10．设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的一个样本，Y1,Y2,?,Ym是来自正态总体
N(?,?)的一个样本，且两样本独立。
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