1y方向： ???u11?21
???????????????????p?????????????? ????y??y??x??x??x??y??y????数量级： 1?1?1 ?能量守恒方程： u????????1????2???11???1?????????? ?????3?
????t????t???t?t????a?????? ???x?y??x??x??y??y??11数量级： 1?1?1?2???11????1?1?1?1????? ?????1
1?22.边界层换热微分方程组 从以上对连续性方程、动量守恒方程及能量守恒方程的数量级分析可见，连续性方程中各项数量级相同，均保留；动量守恒方程中y方向的数量级较x方向小得多，因此y方向的动量守恒方程在方程组中可去除，而x方向的动量守恒方
?2u?2t程中可舍去2；能量守恒方程中可舍去2，因此可得二维、稳态、无内热源
?x?x的边界层换热微分方程组为：
连续性方程：
?u????0 （5-14） ?x?y?u?u1dp?2u动量守恒方程： u（5-15） ??????2
?x?y?dx?y?t?t?2t能量守恒方程： u??（5-16） ?a2
?x?y?ydp是已知量，它可由边界层外理想流体的伯努利方dx程确定。这样，3个方程包括3个未知数u、?及t，方程组是封闭的。
3.边界条件
注意：式（5-15）中的
对上述微分方程组配上定解条件即可求解。对于主流场是均速u?、均温t?，并给定恒壁温，即y?0时t?tw的问题，定解条件可表示为：
y?0时 u?0,??0,t?tw y??时 u?u?,t?t?
4.流体外掠平板方程组的解 对于平板，
dudpdp?0，分析求解上述方程???u??，而u?＝const，则dxdxdx组可得局部表面传热系数hx的表达式如下：
??ux???? hx＝0.332????? （5-17）
x????a?三、速度边界层厚度与热边界层厚的关系
现在，来分析热边层厚度?t与流动边界层厚度?之间的关系。为此，考虑一个掠过平板的强制对流换热问题。在这类强制对流中，重力场可忽略不计，且压力梯度为零，于是式（5－15）简化为：
1213?u?u?2u u（5－18） ????2
?x?y?y将此式与边界层能量微分方程式（5－16）相比较，发现它们在形式上是完全类似的。只要?＝a，且u与t具有相同的边界条件，例如y?0时t?tw，u?uw（uw?0并不影响讨论），及y??时，u?u?,t?t?，则式（5－16）与式（5－18）有相同形式的无量纲形式的解，即
u?uwt?tw与的分布完全相同。
u??uwt??tw换句话说，当?/a?1时，如果热边界层的厚度的定义与流动边界层厚度的定义相同（例如均取来流值的99％的位置作为边界层的外边界），则有?t??。可见比值?/a可以表征热边界层与流动边界层的相对厚度。称?/a?cp?/?为普朗特数，记为Pr，它反映了流体中动量扩散与热扩散能力的对比。除液态金属的Pr数
为0.01的数量级外，常用流体的Pr数在0.6～4000之间，例如各种气体的Pr数大致在0.6～0.7之间。流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而扩散动量的能力。这一能力越大，粘性的影响传递得越远，因面流动边界层越厚。可以对
热扩散率作出类似的讨论。因而?与a的比值，即Pr数，反映了流动边界层与热边界层厚度的相对大小。在液态金属中，流动边界层厚度远小于热边界层厚度；对空气，两者大致相等，如上图所示；而对高Pr数的油类（Pr在102～103的量级)，则速度边界层的厚度远大于热边界层的厚度。
最后，把式（5-17）改写为：
hxx?ux????＝0.332????? ?????a?1213ux?式中：是Pr数；?是以当地坐标x为特征长度的Re数，记为Rex。它们都
a?是无量纲量，因此
hxx?也必为无量纲量，称为努塞尔（Nusselt）数，记为Nux,
下标x表示以当地几何尺度为特征长度。于是，外掠等温平板的无内热源的层流
对流换热问题的分析解为:
Nux＝0.332Rex12Pr13 (5-19)
这种以特征数形式表示的对流换热计算式称为特征数方程，习惯上称准则方程或关联式。获得不同换热条件下的特征数方程是研究对流换热的根本任务。下一节将简要介绍通过求解边界层积分方程组及应用比拟理论获得这种特征数方程的方法。
5-4 边界层积分方程组及其求解
边界层微分方程组虽然已经对完全的对流换热微分方程组作了简化，但在分析求解过程中仍然有不少数学上处理的复杂性。1921年，冯·卡门在边界层微分方程的基础上提出了求解流动问题的边界层动量积分方程。1936年克鲁齐林求解了边界层能量积分方程，并形成了一套用边界层积分方程求解对流换热问题的方法。由于在这种解法中需要对边界层中的速度分布及温度分布作出假设，因此所得到的解称为近似解，但其数学处理的方法要比边界层微分方程的求解容易得多，因而具有一定的工程实用价值。下面，首先概括用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想，然后以流体外掠等温平板的边界层对流换热为例，导出层流边界层积分方程并结出求解的结果。
用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想可归纳如下：
(1)不要求守恒定律对边界层中每一个微元体都成立，而只是对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制客积建立起动量守恒及能量守恒的表达式，即边界层积分方程。
(2)对边界层中的速度分布及温度分布的函数形式作出假设，在这些函数形式中应包含有未知的?、?t及一些待定常数。常用的函数形式为多项式。
(3)利用边界上的条件（即y?0及y??或?t处的条件)确定待定常数，然后将所假设的分布代人积分方程，解出?及?t的计算公式。
(4)据已求得的速度分布及温度分布计算固体边界上的速度变化率
?t?y?u?y及
y?0温度变化率，然后按定义推出阻力系数及Nu数的表达式。
y?0关于边界层积分方程的推导，可以通过对有限大小的控制容积建立动量或热量的平衡，也可以通过对边界层微分方程积分来进行。教材中用积分方法来导出边界层能量积分方程，在此用对有限大小控制容积建立动量或热量平衡的方法。 一、 边界层动量积分方程
边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。在流体中划出一个如上图所示的控制容积，它包括dx一段边界层，而z方向为单位长度。控制容积左侧面为ab，右侧面为cd，顶面为bd，底面为壁面的ac部分，即取ac为dx。在y方向取微元dy。由于在边界层内y方向上的流速很小，因此推导中只考虑x方向上的动量变化，不引入流速?。上图给出了速度的分布曲线。 在距壁面y处流速为u，在y??处u?u?。
先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项： （1）穿过控制面ab进入微元dy的质量流量为：?udy，进入微元dy的动量为?u2dy，将进入微元dy的动量在?0,l?区间进行积分，则得穿过控制面ab进入控制容积的动量为：
l??u2dy
0而同时穿过cd面流出的动量为ab进入动量的基础上加上微元增量，为：
ldl2???u2dy?????0udy?dx 0?dx?净流出的动量为：
d?l2? ???udy?dx （a）
?dx?0（2）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质量流量等于流出cd面与流入ab面的质量流量之差。
