括质量守恒、动量守恒及能量守恒这三大守恒定律的数学表达式。
为了简化分析，对于影响常见对流换热问题的主要因素，推导时作下列简化假设：(1)流动是二维的；(2)流体为不可压缩的牛顿型流体；(3)流体物性为常数、无内热源；(4)粘性耗散产生的耗散热可以忽略不计。除高速的气体流动及一部分化工用流体的对流换热外，对工程中常见的对流换热问题大都可以作上述假定。二维的假设仅是为了书写
y
的简洁，从二维推广到三维是很方便的。
???????一.连续性方程 ????dy???dx ?y?? 由质量守恒定律导出，对于
不可压缩流体，从各方向流入、流出微元体的质流量的差值的总???u????u?dx?dy ?和应等于零。因为是二维问题，?x???udy dy 可以撇开z方向，而只考虑图4-5
dx 所示的x、y两个方向上的质流量
??dx 的差值。如右图所示。
x 0 x方向流入的质量流量：?udy
???u???dx?dy x方向流出的质量流量：??u??x??y方向流入的质量流量：??dx y方向流出的质量流量：?????????????dy??dx ?y?根据质量守恒，各方向质流量差值的总和等于零。于是得：
???u??????＋?0
?x?y考虑到常物性，上式化为：
?u??＋?0 ?x?y这就是二维常物性不可压缩流体的连续性方程。 二.动量微分方程
由动量定理导出，对于如下图所示流动流体的微元体，动量守恒可表示如下：作用于微元体表面和内部的所有外力的总和，等于微元体中流体动量的变化率。也即：质量×加速度＝作用力。
1.微元体的质量×加速度
DU微元体的质量×加速度为：?dxdy
d?x方向：
Du?u?u?u??u?? d????x?yy方向：
D??????? ??u??d????x?y2.微元体所受的外力
微元体所受的外力，可分为体积力和表面力两类，令Fx、Fy分别表示单位
y方向体积的体积力在x、
y
的分量，则x、y方向的体积力为：
?y??yx???yx?y??y?ydy dy x方向：Fxdxdy
y方向：Fydxdy
?u?x??p?2? ?x?xy?dx ??xydy 表面力有垂直于表面的法向应力，以及速度变化时由粘性引起的切向应力，如右图所示，微元体在x和y方向的表面力为：
???x??yx????x＋?y??dxdy??0
?xy ?yx??xy?x???x?xdx ?x??u????????y??x?? ??dx ?y??p?2??? ?yx
???y??xy????y＋?x??dxdy ??微元体的表面力用p、u、?等表示时有以下形式：
??p??2u?2u?????＋2????dxdy 2???y????x??x??p??2??2??????????x2＋?y2???dxdy ?y????3.动量微分方程
x和y方向上动量定理的表达式可表示为：
??2u?2u???u?u?u??p??????u?x???y???Fx??x?????x2＋?y2?? ??????2??2???????????p??????u?x???y???Fy??y?????x2＋?y2?? ????三.能量微分方程
是描述流动流体的温度与有关物理量的联系。在解得速度场后，它是求取流体温度场的基本微分方程，是根
y
据能量守恒定律得出的。
以右图所示微元体为研究对象，对于二维问题，根据热力?Qy?dy 学第一定律，有：由导热进入微元体的热量Q1＋由对流进入微元体的热量Q2＝微元体中流体的焓增。
由导热微分方程的推导可
?Qx dy ?Qx?dx dx ?Qy 0
??2t?2t?知Q1＝??由??x2??y2??dxdyd?，
??x 对流进入微元体的热量的分析可参看右图，在d?时间内，由x处的截面进入微
元体的热量为：
?Qx＝?cptudyd? 由x?dx处的截面流出微元体的热量为：
?u???t???Qx?dx＝?cp?t?dx??u?dx?dyd?
?x???x??则x方向流入微元体的净热量为：
?u???t??Qx?Qx?dx＝??cp?u?t?dxdyd?
?x???x同理，y方向流入微元体的净热量为：
??t??????Qy?Qy?dy＝??cp???tdxdyd? ??y??x??所以由对流进入微元体的热量Q2为：
???t?t???u????Q2＝??cp??? ?u?x＋??y??＋t??x??x??dxdyd????????t?t?? ???cp?u＋?dxdyd? ??x??y??在d?时间内，微元体中流体温度改变了
?H＝?cp?td?，其焓增?H为： ???tdxdyd? ??将Q1、Q2及?H代入能量守恒方程得：
?t?t?t?＋u＋?＝???x?y?cp??2t?2t????x2??y2?? ???t?t和?，这对于理解对流?x?y上式即为对流换热能量方程，可以指出，流体不流动时，u???0，上式退化为无内热源的导热微分方程。能量方程中包括对流项u换热是对流与导热两种基本热量传递方式的联合作用是有意义的。流动着的流
体，除了有导热的本领之外，还依靠流体的宏观位移来传递热量。 四.对流换热微分方程组
1. 对流换热微分方程组
至此，可以把描写对流换热的完整微分方程组作一汇总。对于不可压缩、常物性、无内热源的二维问题，这一微分方程组为： 质量守恒方程：
?u??＋?0 （5-7） ?x?y动量守恒方程：
??2u?2u???u?u?u??p ??????u?x???y???Fx??x?????x2＋?y2?? （5-8）
??????2??2???????????p ??????u?x???y???Fy??y?????x2＋?y2?? （5-9）
????能量守恒方程：
?t?t?t?＋u＋?＝???x?y?cp??2t?2t?? ??x2??y2?? （5-10）??
