答案 B
a
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝. 2
222
在△ABM中，AB＝BM ＋AM －2BM·AM·cos∠AMB，
a1
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB ①
42
在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cos∠AMC
a1
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB ②
42
1
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝106.
2
sin Acos Bcos C
10．若a＝b＝c，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．有一内角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一内角是30°的等腰三角形 答案 C
sin Acos B
解析 ∵＝，∴acos B＝bsin A，
ab
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为( )
ππA. B. 63π5ππ2πC.或 D.或 6633答案 D
解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝3ac， a2＋c2－b23∴·tan B＝，
2ac2
3
即cos B·tan B＝sin B＝.
2
π2π
∵0 12．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( ) 3ππ B＋?＋3 B．43sin?B＋?＋3 A．43sin??3??6?ππ B＋?＋3 D．6sin?B＋?＋3 C．6sin??3??6? 答案 D BCACABπ 解析 A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R， 3sin Asin Bsin C AB＋BC＋ACBC 由合分比定理知＝， sin Asin A＋sin B＋sin Cx3 即＝. 33＋sin B＋sin C 22 ?3＋sin B＋sin?A＋B??＝x， ∴23 ?2? ?B＋π?? 即x＝3＋23?sin B＋sin??3?? ππ sin B＋sin Bcos＋cos Bsin ? ＝3＋23?33?? 13??＝3＋23sin B＋sin B＋cos B 22??3?3?＝3＋23sin B＋cos B 2?2? ?3 sin B＋1cos B? ＝3＋6 2?2?πB＋?. ＝3＋6sin??6? 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 2abc 13．在△ABC中，－－＝________. sin Asin Bsin C 答案 0 14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B 的值为________． π 答案 6 解析 ∵a2＋c2－b2＝3ac， a2＋c2－b23ac3π ∴cos B＝＝＝，∴B＝. 2ac2ac26 15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3， A＋C＝2B，则sin C＝________. 答案 1 解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B. π∴B＝. 3 asin B1 由正弦定理知，sin A＝b＝. 2 又a ππ∴A＝，C＝. 62∴sin C＝1. 16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________． 3 答案 ≤a<3 2 a＋?a＋1?>a＋2??a＋?a＋1?－?a＋2?<0 解析 由? a＋?a＋1?－?a＋2?1 ≥－?2?2a?a＋1? 22 22 22 . 3 解得≤a<3. 2 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间． 解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则 BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中， 由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知： (14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°， ∴t＝2. 答 我艇追上走私船所需的时间为2小时． 4 18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝. 5 B＋C (1)求sin2 ＋cos 2A的值； 2 (2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a. B＋C1－cos?B＋C?1＋cos A59 解 (1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝. 2225043 (2)∵cos A＝，∴sin A＝. 55113 由S△ABC＝bcsin A，得3＝×2c×，解得c＝5. 225 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得 4 a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝13. 5 19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2. (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE. 解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD， ∴∠CBE＝15°. 6＋2 ∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝. 4 (2)在△ABE中，AB＝2， AEAB 由正弦定理得＝， sin∠ABEsin∠AEBAE2即＝， sin?45°－15°?sin?90°＋15°? 12×22sin 30° 故AE＝＝＝6－2. cos 15°6＋2 4 20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 3 a＝2，cos B＝. 5 (1)若b＝4，求sin A的值； (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值． 3 解 (1)∵cos B＝>0，且0 5 4 ∴sin B＝1－cos2B＝. 5ab 由正弦定理得＝， sin Asin B 42×52asin B sin A＝＝＝. b45114 (2)∵S△ABC＝acsin B＝4，∴×2×c×＝4， 225 ∴c＝5. 3 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝17. 5 21．(12分)(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 1故cos A＝－，A＝120°. 2 (2)方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C， 3 又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝， 4 ∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B. 3 ∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝， 4 1 即sin2B－sin B＋＝0. 411 解得sin B＝.故sin C＝. 22 ∴B＝C＝30°. 所以，△ABC是等腰的钝角三角形． 方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°， 则C＝60°－B， ∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B) 31 ＝sin B＋cos B－sin B 22 13 ＝sin B＋cos B 22＝sin(B＋60°) ＝1， ∴B＝30°，C＝30°. ∴△ABC是等腰的钝角三角形． 22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)， n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； π (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积． 3 (1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
