2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 答案 B
解析 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a， ∴由余弦定理得AB＝3a.
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
106
A．103 n mile B. n mile
3
C．52 n mile D．56 n mile 答案 D
解析 在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.
BCAB
由正弦定理得：＝ sin Asin B
BC10∴＝ sin 60°sin 45°解得BC＝56.
4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．502 m B．503 m
252
C．252 m D. m
2
答案 A
ACAB
解析 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，
sin∠ABCsin∠ACB
250×
2AC·sin∠ACB
∴AB＝＝＝502 (m)．
1sin∠ABC
2
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(6＋2) 海里/小时 B．20(6－2) 海里/小时 C．20(6＋3) 海里/小时 D．20(6－3) 海里/小时 答案 B
解析 由题意，
∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.
MNMS
由正弦定理得＝. sin 30°sin 105°MSsin 30°10
∴MN＝＝＝10(6－2)．
sin 105°6＋2
4
则v货＝20(6－2) 海里/小时．
6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
15015
A. 分钟 B. 小时 77
C．21.5 分钟 D．2.15 分钟 答案 A
解析 设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km， 则∠DBC＝180°－60°＝120°. 222
∴y＝(10－4x)＋(6x)－2(10－4x)·6xcos 120°
2
＝28x－20x＋100
5525
x－?2－＋100 ＝28(x2－x)＋100＝28??14?77
5150
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，
147
2
y有最小值．∴y最小． 二、填空题
7．如图，A、B两点间的距离为________．
答案 32－2
8．如图，A、N两点之间的距离为________．
答案 403
9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得 ∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
答案 60 m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120 m. 作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
ACCD
由正弦定理得＝，
sin∠ADCsin∠CAD
CD120＝， sin 90°sin 30°∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60 m.
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
3
答案
6
解析
∴
如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km. 由正弦定理得 BCAB
＝
sin∠CABsin∠ACB
6－21
∴BC＝·sin 15°＝ (km)．
sin 60°23
设C到直线AB的距离为d，
6－26＋23
则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．
4623
三、解答题
11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
ABsin B
＝
sin ∠ADB
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝126×
2
2
＝24(n mile)．
32
(2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 30°， 解得CD＝83≈14(n mile)．
即A处与D处的距离为24 n mile， 灯塔C与D处的距离约为14 n mile.
12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
3
km，∠ADB2
解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
BCCD
由正弦定理得＝，
sin 30°sin 45°CDsin 30°6
则BC＝＝(km)．
sin 45°4
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
3
∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝(km)．
2
在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45° 363623＝＋－2×××＝， 4162428
6
∴AB＝(km)．
4
6
答 河对岸A、B两点间距离为km. 4
能力提升
13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 答案 B
解析 设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得： (20t)2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302. 化简得：4t2－82t＋7＝0，
7
∴t1＋t2＝22，t1·t2＝.
4
从而|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝1.
14．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？
解 如图所示，连结A1B2，
