答案 B
解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
32＋52－721
则cos C＝＝－.
22×3×5
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案 D
解析 ∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0. ∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°， c＝2a，则( )
A．a>b B．a
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos 120° ＝a2＋b2＋ab.
∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab. ∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案 A
解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2， 则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0， ∴c＋x所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________. 答案 19
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， ∴c＝19.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________． 答案 2 1 解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1. 2 ∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2， 化简得：0 9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________． 答案 12 1 解析 S△ABC＝AB·AC·sin A 2 1 ＝AB·AC·sin 60°＝23， 2 ∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC， 22 ∴(AB＋AC)＝BC＋3AB·AC＝49， ∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12. 10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________． 13π 答案 3 13 解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝3， 24 ∴c＝4， 由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a＝13. a13239 ∴2R＝＝＝， sin A33 2 3913π ∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝. 33 三、解答题 a2－b2sin?A－B? 11．在△ABC中，求证：2＝. csin C sin Acos B－cos Asin Bsin Asin B 证明 右边＝＝·cos B－·cos A sin Csin Csin C 22222222222222aa＋c－bbb＋c－aa＋c－bb＋c－aa－b＝c·－c·＝－＝2＝左边． 2ac2bc2c22c2c22 a－bsin?A－B?所以2＝. csin C12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =且AB·BC＝－21. (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. 解 （1）∵AB·BC＝－21，∴BA·BC=21. ∴BA·BC = |BA|·|BC|·cosB = accosB = 21. 3， 534，∴sinB = . 55114∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14. 225∴ac=35，∵cosB = (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5. 由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32， cb ∴b＝42.由正弦定理：＝. sin Csin B c542 ∴sin C＝bsin B＝×＝. 4252 ∵c 13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( ) ππ A．0 ππππC. 解析 方法一 (应用正弦定理) ABBC12∵＝，∴＝ sin Csin Asin Csin A 1 ∴sin C＝sin A，∵0 21 ∴0 ∵AB π ∴0 6 方法二 (应用数形结合) 如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1 π 和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝， 6 π ∴0 6 3 14．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝. 4 11 (1)求＋的值； tan Atan C 3，求a+c的值. 23?237 解 (1)由cos B＝，得sin B＝1－?＝?4?4. 4 （2）设BA·BC = 由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C. cos Acos C11 于是＋＝＋ tan Atan Csin Asin Csin Ccos A＋cos Csin Asin?A＋C?＝＝ sin Asin Csin2 Bsin B147＝2＝＝. sin Bsin B7(2)由BA·BC = 33得ca·cosB = 223 由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 4 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 222 得a＋c＝b＋2ac·cos B＝5， ∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3. 1．解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，B，C) 正弦定理 两边和夹角 (如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 三边 (a，b，c) 余弦定理 两边和其中一边的对角如 (a，b，A) 余弦定理 正弦定理 由A＋B＋C＝180°，求角A； 由正弦定理求出b与c.在有 解时只有一解． 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一 角．在有解时只有一解． 由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出 角C.在有一解时只有一解. 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． §1.2 应用举例(一) 课时目标 1．了解数学建模的思想； 2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题． 1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α. 3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一． 一、选择题 1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( ) A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′ C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′ 答案 C
