1．1.2 余弦定理(一)
课时目标
1．熟记余弦定理及其推论；
2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
2bc2ca2ab
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；
222
(2)若c＝a＋b－ab，则C＝60°；
222
(3)若c＝a＋b＋2ab，则C＝135°.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( ) A.3 B．3 C.5 D．5 答案 A
2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( ) ππA. B. 36ππC. D. 412答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
a2＋b2－c2
由余弦定理cos C＝
2ab
72＋?43?2－?13?23π＝＝.∴C＝. 262×7×43
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于( )
A．1 B.2 C．2 D．4 答案 C
a2＋b2－c2c2＋a2－b22a2
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
2ab2ac2a2
4．在△ABC中，已知b＝ac且c＝2a，则cos B等于( ) 1322A. B. C. D. 4443答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23
∴cos B＝＝＝.
2ac2a·2a4
Ac－b
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形
22c
状为( )
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案 B
A1－cos Ac－b
解析 ∵sin2＝＝，
222c222
bb＋c－a
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
c2bc
故△ABC为直角三角形．
1
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
4
A．135° B．45° C．60° D．120° 答案 B
11
解析 ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
42
222
∴a＋b－c＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴sin C＝cos C， ∴C＝45° . 二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________. 答案 120°
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________. 答案 30°
2
解析 c＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12
∴c＝23.
ac1
由正弦定理：＝得sin A＝. sin Asin C2
∵a 9．三角形三边长为a，b，a2＋ab＋b2 (a>0，b>0)，则最大角为________． 答案 120° 解析 易知：a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，设最大角为θ， a2＋b2－?a2＋ab＋b2?21 则cos θ＝＝－， 2ab2 ∴θ＝120°. π 10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于3时，tan C＝________. 3 答案 －23 1 解析 S△ABC＝acsin B＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 2a2＋b2－c2112 ∴cos C＝＝－，sin C＝， 2ab1313 ∴tan C＝－12＝－23. 三、解答题 11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． AB2＋AC2－BC292＋82－722 解 由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理 2·AB·AC2×9×83 AC?2AC2222 知：x2＝?＋AB－2··ABcos A＝4＋9－2×4×9×＝49 ?2?23 ?x＝7. 所以，所求中线长为7. 12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长； (3)求△ABC的面积． 解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)] 1 ＝－cos(A＋B)＝－， 2 又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°. (2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根， ?a＋b＝23，∴? ?ab＝2. ∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝10. 13 (3)S△ABC＝absin C＝. 22 能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 答案 3 BC2＋AC2－AB22 解析 ∵cos C＝＝， 22×BC×AC 2 . 2 ∴AD＝AC·sin C＝3. 14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知 b2＋c2－a2a2＋c2－b2 cos A＝，cos B＝， 2bc2aca2＋b2－c2 cos C＝， 2ab 代入已知条件得 b2＋c2－a2a2＋c2－b2c2－a2－b2a·＋b·＋c·＝0， 2bc2ac2ab 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形． ∴sin C＝1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 1．1.2 余弦定理(二) 课时目标 1．熟练掌握正弦定理、余弦定理； 2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1．正弦定理及其变形 abc(1)＝＝＝2R. sin Asin Bsin C (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C. abc (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R (4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 2．余弦定理及其推论 (1)a2＝b2＋c2－2bccos_A. b2＋c2－a2 (2)cos A＝. 2bc (3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2 A＋BπC (1)A＋B＋C＝π，＝－. 222 (2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C. A＋BA＋BCC(3)sin ＝cos ，cos ＝sin . 2222 一、选择题 1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 ( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 答案 C 解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c21即＝－， 2ab2 1 ∴cos C＝－，∴∠C＝120°. 2 2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案 C 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B. 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
