1.单位派4个人自由选择去参加甲、乙两个学习班，4人约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个，掷出点数为1或2的人去参加甲班，掷出点数大于2的人去参加乙班.
（1）求这4个人中去参加甲班的人数大于去参加乙班的人数的概率：
（2）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙班的人数，记?=|X?Y|，求随机变量?的分布列与数学期望E?. 解（1）XkkB(4,p)?P(X?k)?C4p(1?p)4?k(k?0,1,2,3,4)，
这4个人中去参加甲的人数大于去参加乙的人数的概率为P(X?3)?P(X?4)?（2）?可取0,2,4
1 9P(??0)?P(X?2)?827 P(??2)?P(X?1)?P(X?3)?40 8117P(??4)?P(X?0)?P(X?4)?81 随机变量?的分布列为
? P
0 8 272 4
40 8117 81E??0?
84017148?2??4?? 278181812.长沙市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为?，求?的分布列和数学期望；
（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球
的概率．
参考公式：互斥事件加法公式：P(A独立事件乘法公式：P(AB)?P(A)?P(B)（事件A与事件B互斥）． B)?P(A)?P(B)（事件A与事件B相互独立）．
条件概率公式：P(B|A)?P(AB)． P(A)【知识点】条件概率与独立事件；相互独立事件的概率乘法公式．K1 K5
38【答案】【解析】（1）分布列见解析；（2）75
解析：（1）?的所有可能取值为0，1，2． ????????1分
设“第一次训练时取到i个新球（即??i）”为事件Ai（i?0，1，2）． 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，
C321所以P(A0)?P(??0)?2?， ???????????3分
C6511C3C3P(A1)?P(??1)?23?， ???????????5分
C65C321P(A2)?P(??2)?2?． ??????????7分
C65所以?的分布列为
? P 0 1 2 131 555131?的数学期望为E??0??1??2??1． ??????????8分
555（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B?A1B?A2B． 而事件A0B、A1B、A2B互斥，
所以P(A0B?A1B?A2B)?P(A0B)?P(A1B)?P(A2B)． 由条件概率公式，得
11C1331C3P(A0B)?P(A0)P(B|A0）??23???，????????9分
5C6552511C3C2388P(A1B)?P(A1)P(B|A1）??24???，???????10分
5C65152511C1111C1P(A2B)?P(A2)P(B|A2）??25???．???????11分
5C6531538138??＝． ???????12分 2525157538所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为。
75所以P(A0B?A1B?A2B)?【思路点拨】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B．而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．
3. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 【知识点】离散型随机变量及其分布列 【答案】(1)略(2)0.896
【解析】(1)设A表示事件作物产量为300kg，B表示事件作物市场价格6元/kg 由题设知P(A)=0.5，P(B)=0.4
利润=产量?市场价格-成本，?X可能的取值为
500?10-1000=4000,500?6-1000=2000,300?10-1000=2000,300?6-1000=800
P(X=4000)=(1-0.5) ?(1-0.4)=0.3, P(X=2000)= (1-0.5) ?0.4+0.5(1-0.4)=0.5 P(X=800)=0.5?0.4=0.2 ?X的分布列为 X P (2)设
4000 0.3 2000 0.5 800 0.2 Ci表示事件第i季利润不少于2000元（i=1,2,3） C1，C2，C3相互独立，由（1）知
由题意得P(
Ci)=P(X=4000)+ P(X=2000)-0.3+0.5-0.8
3C20.82?0.20.8?P=+3=0.896
【思路点拨】根据X可能的值求出相应的概率，根据相互独立事件的概率求出结果。
4.某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下： 类别 顾客数（人）
A类 B类 C类 D类 20 30 40 10
3
4
6
时间t（分钟/人） 2
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． （Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列，用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形：
①办理第一、二位业务所需的时间分别为2、3分钟；②办理第一、二位业务所需的时间分别为3、2分钟；故P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2），计算可得；
（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟，或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟，X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，分别可得其概率，进而可得分布列和数学期望故EX． 【解析】
（Ⅰ）设Y表示银行工作人员办理业务需要的时间，用频率估计概率得Y的分布列如下： Y P
2
3
4
6
用A表示事件“银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A有两种情形： ①办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间为3分钟； ②办理第一位业务所需的时间为3分钟，且办理第二位业务所需的时间为2分钟； ∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）=（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，
X=0对应办理第一位的业务需时超过4分钟，故P（X=0）=P（Y＞4）=
， =
；
X=1对应办理第一位业务所需的时间为2分钟，且办理第二位业务所需的时间超过分钟， 或办理第一位业务所需的时间为3分钟，或办理第一位业务所需的时间为4分钟， 故P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（Y=4）=
+
+=
，
=
，
X=2对应办理两位顾客业务时间均为2分钟，故P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=故X的分布列为： X P
0
1
2
