2．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法。
3．掌握牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式。
4．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
5．理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法。
6．会用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。
总
结
：
sec2x?tan2x?1,sin2x?2sinxcosx,cos2x?cos2x?sin2x,cos2x?2cos2x?1,cos2x?1?2sin2x
1.计算曲边梯形面积的思路：分割，近似替代，求和，取极限。 2.定积分的定义：
?f????x ?f(x)dx?lim?a?0iii?1bn说明如下：定积分表示一个和式的极限，仅与积分区间和被积函数有关，与积分变量形式无关
3.定积分的几何意义：①f（x）>0表曲边梯形的面积②f（x）<0表曲边梯形面积的负值③f（x）有正有负表曲边梯形面积的代数和
4.变上限定积分：?a,b?上，x为?a,b?上任一点，定积分
xx?f(t)dt确定的函数?(x)
a?(x)??f(t)dt?a?x?b?
a定理：如果函数（fx）在区间【a，b】上连续，测变上限定积分?(x)??f(t)dt?a?x?b?ax 9
d?(x)d在区间【a，b】上可导，并且它的导数等于被积函数即??'(x)??f(t)dt?f(x)
dxdxa与函数的导数不同之处在于，函数连续不一定可导
bbx5.N-L公式：
?f(x)dx?F(X)a?F(b)?F(a)
a6.如果函数f(x)在区间I上连续，则f（x）在区间I上一定有原函数即存在在区间I上的可导函数F（x），使得对任意x?I，有F'(x)?f(x)（变上限?(x)是一个原函数，有一个则有无穷个）
F(x)?C为全体原函数，定理：也为（fx）在区间I上的不定积分记
7.不定积分运算，为导数的逆运算。特别记四个
?f(x)dx?F(x)?C
8.积分运算（注意与狭积分共同记忆的转变为分段函数计算的题目）：①不定积分的直接积分法（与分部积分法区分开）②第一类换元积分法（凑微分法）③第二类换元积分法,
n适用于四类：ax?b?nax?b?t,a2?x2?x?asintx?a?x?atant,x?a?x?asectaa2222注意换元的同时一定要换相，
a另有时候可以简便成偶函数有
?a?f(x)dx?2?f(x)dx，奇函数有?f(x)dx?0④分部积分
0?abbab法：适用于两种不同类型函数乘积的积分（六种基本初等函数的参杂），公式为：
?udv?uv??vdu，在定积分中?u(x)dv(x)?u(x)v(x)a??v(x)du(x)
a12x019.无穷区间上的广义积分：?edx?e?
??22??2x0有穷区间无穷函数上狭义积分：例如求
0dx 2?x?1011dxdxdx11由于?2?(?)?lim(即反常积分分散，所以反常积分分散 ?)???22???x?0xxxx?1x?1?1?1注意如果忽略x=0是被积函数的狭点，就会得到错误答案下
110dx1?(?)??1?1??2 2?xx?1?110.定积分的进一步运用
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?rj2??rj?12?2?rj?r????r??2?rj?r引例：城市人口计算
22N??p(r)2?r?r0
上采用“简化”方法就是微元法，特点“以直代曲，以常代变”
b微元法：找出局部量?A近似值dA=f(x)dx,那么A=f(x)dx（之前还要选准以x轴
a?还是y轴）
bd用微元法求平面图形的面积有：A?b?af(x)?g(x)dx或A???(y)??(y)dy
c2d2用微元法求旋转体体积有：VX????f(x)?dx或VY?????(y)?dy
acb用微元法求旋转体侧面积有：S?2?
四、无穷级数 (一)数项级数
?a（与微元法求面积区分开） f(x)?1??f'(x)?dx21．理解级数收敛、级数发散的概念和级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件。
2．熟记几何级数
?aqn?1?n?1?11，调和级数?和p—级数?p的敛散性。(定理
n?1nn?1n?一:正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界)会用正项级数的比较审敛法
与比值审敛法判别正项级数的敛散性。
3 2.理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。1.会用莱布尼茨(Leibnitz) 判别法判别交错级数的敛散性。
(二)幂级数
1．理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念。会求幂级数的收敛半径与收敛区间。
2．掌握幂级数和、差、积的运算。
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3．掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、和函数可逐项求导及和函数可逐项积分。
4．熟记ex，sinx，cosx，ln(1+x)，
1的麦克劳林(Maclaurin)级数，会将一些1?x简单的初等函数展开为x－x0的幂级数。
总结：1.数项级数概念及求其S的方法 1.）定义：若级数
?un?1?n的部分和数列?Sn?的极限存在，即limSn?S则称级数
n???un?1?n收敛，S称为级数的和，并称为S=
?un?1?n，这时也称该级数收敛于S，若部分和数列极限不
存在，就称级数
?un?1?n发散。
2）.几何级数：等比数列a?ar?ar?......?ar2n?1?......的收敛性
1?rn部分和Sn?a?
1?r1?rna?当r<1时有limSn?lima?为收敛
n??n??1?r1?r当r>=1时Sn??或不存在为发散
111??......??......称为调和级数，其为发散级数（证明：利23n3）调和级数：级数1?用x?ln(1?x)）
2.数项级数性质及正项级数审敛法 1）数项级数
?un?1n?n收敛则limun?0。注意limun?0只为数项级数收敛的必要条件.
n??n??例如：调和数列u?1?0但发散（应用最多于limun?0则数项级数发散：很重要）
n??n12
