第五节 随机变量函数的分布
内容分布图示
★ 随机变量的函数
★ 离散型随机变量函数的分布 ★ 例1 ★ 连续型随机变量函数的分布
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5
★ 有关直接确定密度函数的一个定理
★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-5
讲解注意：
一、 随机变量的函数
定义 如果存在一个函数g(X), 使得随机变量X,Y满足:
Y?g(X),
则称随机变量Y是随机变量X的函数.
注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.
一般地, 对任意区间I, 令C?{x|g(x)?I}, 则
{Y?I}?{g(x)?I}?{X?C},
P{Y?I}?P{g(x)?I}?P{X?C}.
注: 随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.
二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X的概率分布为
P{X?xi}?pi,i?1,2,?
易见, X的函数Y?g(X)显然还是离散型随机变量.
如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值, 然后对Y的每一个可能取值yi,i?1,2,?,确定相应的
Ci?{xj|g(xj)?yi},于是
{Y?yi}?{g(xi)?yi}?{X?Ci},
P{Y?yi}?P{X?Ci}??P{Xxj?Ci?xj}.
从而求得Y的概率分布.
三、 连续型随机变量函数的分布
一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.
设已知X的分布函数FX(x)或概率密度函数fX(x), 则随机变量函数Y?g(X)的分布函数可按如下方法求得:
FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?Cy}.
其中Cy?{x|g(x)?y}.
而P{X?Cy}常常可由X的分布函数FX(x)来表达或用其概率密度函数fX(x)的积分来表达:
P{X?Cy}??CfX(x)dxy
进而可通过Y的分布函数FY(x), 求出Y的密度函数.
定理1 设随机变量X具有概率密度fX(x),x?(??,??),又设y?g(x)处处可导且恒有
g?(x)?0(或恒有g?(x)?0), 则Y?g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为
?f[h(y)|h?(y)|,fY(y)???0,??y??其它
其中x?h(y)是y?g(x)的反函数, 且
??min(g(??),g(??)),??max(g(??),g(??)).
例题选讲：
离散型随机变量函数的分布
例1（讲义例1）设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y?(X?1)2的分布律.
Xpi?10.200.310.1220.4
解 Y所有可能的 取值0,1,4,由
P{Y?0}?P{(X?1)?0}?P{X?1}?0.1, P{Y?1}?P{X?0}?P{X?2}?0.7,P{Y?4}?P{X??1}?0.2,
既得Y的分布律为 Y 0 1 4 Pi 0.10.70.2 .
连续型随机变量函数的分布
例2（讲义例2）设随机变量X~N(0,1),Y?e, 求Y的概率密度函数. 解 设FY(y),fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数.
X则当y?0时, 有FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{?}?0.
当y?0时, 因为g(x)?ex是x的严格单调增函数, 所以有{eX?y}?{X?lny}, 因而FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?212??lny??e?x22dx.
(lny)?1??e2,y?0 再由fY(y)?FY'(y), 得fY(y)??.2??0,y?0?通常称上式中的Y服从对数正态分布, 它也是一种常用寿命分布.
例3（讲义例3）设X~fX(x)??解
?x/8,?0,0?x?4其它, 求Y?2X?8的概率密度.
设Y的分布函数为FY(y), 则
FY(y)?P{Y?y}?P{2X?8?y}?P{X?(y?8)/2}?FX[(y?8)/2]
于是Y的密度函数fY(y)?dFY(y)dy?y?8?1?fX???2??2
y?8?y?8??y?8?????0,且fX?16?2??2?注意到0?x?4时，fX(x)?0,即8?y?16时，fX?故fY(y)????(y?8)/32,0,8?y?16其它.
例4 设X~N(0,1), 求Y?X2的密度函数. 解
记Y的分布函数为FY(x), 则FY(x)?P{Y?x}?P{X2?x}.
显然, 当x?0时，FY(x)?P{X2?x}?0; 当x?0时, FY(x)?P{X2?x}?P{?x?X???2?(x)?1,F(x)?从而Y?X的分布函数为Y??0,?2x}?2?(x)?1.
x?0x?0x?0
1?1?(x),?于是其密度函数为fY(x)?FY?(x)??x?0,?????x?0??2?x0,e?x/2,x?0x?0.
注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从?2(1)分布, 它是一类更广泛的分布
22?(n)在n?1时的特例. 关于?(n)分布的细节将在第五章中给出.
例5（讲义例4）已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y?F(X)服从[0,1]上的均匀分布.
证明 设Y的分布函数是G(y), 由于0?y?1, 于是对y?0,G(y)?0; 对y?1,G(y)?1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数F?1存在且严格递增.对0?y?1,
G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}?P{X?F?0,?即Y的分布函数是G(y)??y,?1,?y?00?y?1 y?1?1(y)}?F(F?1(y))?y
求导得Y的密度函数g(y)???1,?0,0?y?1其它可见, Y服从[0,1]上的均匀分布. 证毕.
注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 例6（讲义例5）设随机变量X~N(?,?2).试证明X的线性函数正态分布.
证
XY?aX?b(a?0)也服从
的概率密度为fX(x)?12???(x??)2?22e,???x??.
由y?g(x)?ax?b解得x?h(y)?fY(y)?1y?ba, 且有从而Y?aX?b的概率密度为
?y?b?fX??,???y???, |a|a???y?b?????a??2即fY(y)?1|a|12??e2?2?1|a|?2??[y?(b?a?)]2(a?)22e(???y???)
即有Y?aX?b~N(a??b,(a?)2). 特别地, 若在本例中取a?1,b?????,则得Y?X???~N(0,1).
这就是上节中一个已知定理的结果.
例7 设随机变量X服从参数为?的指数分布, 求
Y?min{X,2}
的分布函数.
解 根据已知结果, X的分布函数
?1?e??x,FX(x)??0,?Yx?0x?0
的分布函数
FY(y)?P{Y?y}?P{min{X,2}?y}?1?P{min{X,2}?y}?1?P{X?y,2?y}.当y?2时，FY(y)?1?P{X?y}?P{X?y}?FX(y),
