??n?1un1nlnn收敛。
2）、这是一个具体的级数，按常规的程序分析。
首先证明原级数的收敛性。由于
n
|?sink|￡k=11sin12，
且{1nlnn￥}单调递减趋于0，因而，由Dirichlet判别法，?n=1￥sinnnlnn收敛。
其次，考虑绝对级数由于
?n=1|sinn|nlnn2的收敛性。
2|sinn|nlnn￥?2sinnnlnn收敛，而
￥1nlnn1-cos2nnlnn，
类似前述证明：
￥?n=1cos2nnlnn?n=1nlnn发散（积分判别法），因而，
?n=1|sinn|nlnn发散，故，原级数条件收敛。
注、上述方法是处理这类题目的典型处理方法，特别要掌握三角函数的部分和公式：
2sinx2x2(sinx+sin2x+L+sinnx)=cosx2-cos2n+12x，
2sin(cosx+cos2x+L+cosnx)=sin2n+12x-sinx2，
因此，成立
n
|?coskx|￡k=11|sinx2|n ，|?k=1sinkx|￡1|sinx2|，x12kp。
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￥注、从上述证明中可知，
￥?n=11nlnn2￥收敛，而
?n=11nlnn发散。我们知道，
?n=11np当p>1时收敛，当
p￡1时发散，p＝1是临界指标，并且我们知道，级数是否收敛和通项收
￥敛于0的速度有关，因此，上述几个结论表明，
?n=11n的通项收敛于的速度不能保证级数的收敛性，分
母上贡献一个因子lnn后，仍不足以保证级数的收敛性，但是，一旦这个因子的幂次大于1，级数就收敛了，
￥因而，p＝1也是
?n=11nlnn?p的临界指标。
?2n?1?2n例18 证明：若
?an?1与
?an?1都收敛，则
?an?1n也收敛。
分析 这是抽象级数敛散性的判别，通过已知级数和待研究级数的形式可以看出，借助部分和可以将它们联系起来，因而用定义法判别其收敛性。
??2n?1?2n证明：设
?an?1、
?an?1、
?an?1n的部分和分别为An、Bn、Sn，且设An?A , Bn?B，
则
S2n?An?Bn?A?B , S 2n?1?An?Bn?1?A?B
?故， Sn?A?B，因而，
?an?1n收敛。
下面两个例子与例18结构相同，处理方法与例18类似。
??2n?1例19 证明：若
?(an?1?a2n)收敛，且liman?0，则?an收敛。
n???n?1??证明：设
?(an?12n?1?a2n)、?an的部分和分别为An , Bn，则
n?1B2n?An，B2n?1?An?a2n?1，
?故 limB2n?limB2n?1?limn???n???n???An，因此，?an收敛。
n?1 81
??n?n例20 设
?an?1?收敛且limnan?0，证明：
n????n(an?1?an?1)??an?1n。
证明：记
?n(an?1n?an?1)的部分和为Sn，则
nn?1k Sn?取极限即可得到结论。
?ak?1?nan?1??ak?1k?(n?1)an?1
注、从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件limnun???n?0下，若
￥?n=1n(un-un+1)收敛，则?unn?1?也收敛。
￥注、同样，在
?n=1n(un-un+1)、?unn?1?都收敛的条件下，{nun}也收敛。
下面我们研究级数更进一步的性质。
??例21 设正项级数
?n?1an发散，Sn为其部分和，证明：?n?1anSn发散。
分析 仍是抽象级数，考虑用定义方法或Cauchy收敛准则。 证明：考察其Cauchy片段
n?p
?k?n?1akSk?1Sn?pn?p?ak?1Sn?p[Sn?p?Sn}?1?SnSn?p
k?n?1因为Sn???，故对任意n，存在p>0，使得
SnSn?p因此，
n?p?12，
?k?n?1?akSk?12，
故，
?n?1anSn发散。
82
更一般的结论是：
??例22 设正项级数
?an发散，则级数?an当p>1时收敛，当p?1时发散。其中Sn仍是级数
pn?1n?1Sn??an的部分和。
n?1证明：利用第16题的结论知，当p?1时，
annSp?anS，
n由比较判别法，此时级数发散。
?下证 当p>1时，
?an收敛。事实上，由于
n?1Spn
anSn?Sn?1Sp?nSp，
n?Sn1dx?1SSn?Sn?1)
n?1xpSp(n另一方面，
?Sn111?p1?pSxpdx?[?1?Sn]，因而
n?1p?1Sn anSp?1np?1[S1?p1?pn?1?Sn]；
?另外，由于级数
?(S1?p1?pn?1?Sn)的部分和
n?1A1?pn?S1?p1?Sn?S1?p1，
?因而其收敛，由比较判别法，
?anp当p>1时收敛。
n?1Sn注、当p=2时，利用下式有更简单的证明方法：
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