《高观点下中学数学---代数学》1
1、叙述自然数a>b的定义。
如果对给定的两个自然数a与b，存在一个数k，使得a=b+k，则称a大于b，记为a＞b 2、若|A|=m |B|=n，则A→B的所有不同映射共有多少个？
mn个
3、若A是有限集合，则A→A的不同映射共有多少个？ AA
4、若A是有限集合，则是否存在一个A到其真子集合的单映射？请解释原因。
不存在，设B?A，若存在f:A?B,f是单射，则A?B,但B是A的真子集合，B＜A，矛盾。5、从整数集合Z到自然数集合N是否存在一个单映射？请解释原因。 存在,因为Z?N，
6、请叙述自然数加法定义中的两个条件。 （1）、对于任意数a有a+1=a?
(2)、对于任意数a和b有a?b??(a?b)? 7、请叙述自然数乘法的定义。
自然数的乘法是指这样的对应，由于它对于每一个自然数a与b，有且仅有一个自然数
a×b与与对应并具有下面性质：⑴对于任何a，a×1=a
⑵对于任何a与b，a?b??a?b?a
8、分别利用归纳法与反归纳法证明算术均值大于等于几何均值（n个数）。
归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,2都成立，
n假设命题对n=k成立，令Sk??1Skk?1?a1a2...ak?1证之成立
a?a2?...?ak?1a1?a2?...?ak,Sk?1?1，利用
k?1k
?9、令Q为正有理数集合，若规定a?b?a?b? a?b?ab问：（1）{Q,?}是2?否构成代数体系，是否满足结合律；（2）{Q,?}是否构成代数体系，是否满足结合律。
(1)、Q?,?不构成代数体系,不满足结合律. （2）、Q?,?构成代数体系,满足结合律.
10、若在实数集合中规定：a?b=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，求证?满足结合律。
????证：(a?b)?c?(a?b?a?b)?c?(a?b?a?b)?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?b?c?a?c?a?b?ca?(b?c)?a?(b?c?b?c)?a?b?c?b?c?a?(b?c?b?c)?a?b?
c?a?b?b?c?a?c?a?b?c?(a?b)?c11、求自然数N到整数集合Z的（1）一个单满映射；（2）一个满映射但不是单映射。 （1）、f1:a??a2
?12、求证代数系统{R，×}和代数系统{R，+}是同构的，其中R表示正实数集合，R表示实数集合，+与×就是通常的实数加法与乘法。
令：f:x?lnx,?x,y?R?,f(xy)?lnxy?lnx?lny?f(x)?f(y)因而f是同构。
13、若A为无限集合，则A与自然数N等价还是与其真子集合等价？请解释原因。 A与其真子集合等价，因为它们的基数相同。 14、
a1?a2????ann?a1a2??an等号成立的条件是什么？
nai?0,ai?aj,i?j,i,j?1,2,3,4??n.
15、f(x)=x（x>0）则k满足什么条件时，f(x)为下凸函数？ f?(x)?k?xk?1k,f??(x)?k?(k?1)?kk?2,k?(k?1)＞0，则k＜0或k＞1
216、若x>0,y>0,z>0，且满足2x+3y+4z=10，求5x+6y+7z的极大值。
22设拉格朗日函数为L(x,y,z,?)?5x?6y?7z??(2x2?3y2?4z2?10).对L求偏导并令它们都等于0，有：L22X2?5???4x?0,Ly?6???6y?050730,
Lz?7???8z?0,L??2x?3y?4z?10?0,得稳定点x?y?40730,z?530,由极值的充分条件判断知该稳定点为极大值点，730代入求得5x?6y?7z的极大值为。217、若x>0,y>0,z>0，且满足x+2y2+3z=15 求2x+3y+4z的极大值。
22设L(x,y,z,?)?2x?3y?4z??(x2?2y2?3z2?15),Lx?z???2x?0 Ly?3???4y?0,Lz?4???6z?0,L??x?2y?3z?15?0的稳定点
222x?
34083,y?940483,z?24083为极大值点，2x?3y?4z的极大值为830。218、若x>0,y>0,z>0，且满足2x+3y2+4z=10 求3x+4y+5z的极大值。
解：设L（x、y、z）=3x+4y+5z+λ（2x+3y2+4z-10），Lx=3+λ·4x=0, Ly=4+λ·6y=0, Lz=5+λ·8z=0,Lλ=2x+3y2+4z-10=0,得稳定点x=
222222330193,y=
8303193,z=
5302193,
3x+4y+5z的极大值为
15790。 619、求证圆内接n边形以正n边形面积最大（半径为R）。 解：S=
12r??sin?1?sin?2????sin?n?,?1??2????n?2?, 2令L（
?1,?2,???n,?）=
12r??sin?1?sin?2????sin?n?2-λ
(?1??2????n?2?). L?1?……L?n?=αn=
121rcos?1???0,L?2?r2cos?2???0, 2212rcos?n???0，L???1??2?????n?2??0,稳定点α1=α2=……22?,知该稳定点为唯一的极大值点，也是最大值点，从而该n边形为正n边形。 n20、(?xy)ii1n2?(?x)(?yi2)等号成立的条件是什么？
2i11nn答：
?x??yii?1i?1nni。
21、下面函数满足什么条件时是上凸函数：（1）f1(x)?sinx；（2）f1（x）=㏑x（3）
f1(x)=xk，k>1？
答：（1）f1\(x)??sinx,当x∈[2kπ，2kπ+π]时， （2）f2\(x)??1，总是上凸的， 2x （3）f3\(x)?k?(k?1)xk?2，当x＜0且k为奇数时，f3(x)为上凸函数。
111222、求证 (a1?a2????an)?（++……）?n，ai?0 i=1，2，……n
ana1a2111??????n?n证明：a1?a2????an?nn?ai，
a1a2ani?1得证。 23、若
n1 。两式相乘?i?1ain?1+?2+…+?n=1，?i?0,且ai?0, i=1,2…n，求证：
12n?? ?1a1+?2a2+…+?nan?a?1a2...an
24、当k满足什么条件时f(x)= x（x>0）为上凸函数? 答：当0＜k＜1时，f2\(x)＜0，f(x)上凸。
k高观点下-代数2
1、剩余类环Z12中的真零因子有哪些？
解：有[0]、[2]、[3]、[4]、[6]、[8]、[9]、[10]。
