(a)Ha(s)?s?a3(b)H(s)? a22(s?1)(s?3)(s?a)?bA3s?2(d)H(s)? a(s?s0)22s2?3s?1 (c)Ha(s)?解：（a）将Ha(s)进行部分分式展开，有： Ha(s)? 从而有： H(z)?0.50.5?
s?a?jbs?a?jb0.51?e(?a?jb)Tsz?1?0.5 (?a?jb)Ts1?e（b）将Ha(s)进行部分分式展开，有： Ha(s)?从而有： H(z)?1.51.5 ?s?1s?31.51.5 ??Ts?1?3Ts?11?ez1?ez(c) 将Ha(s)进行部分分式展开，有： Ha(s)?从而有： H(z)?11 ?2s?1s?10.5?11?e?Tsz?1
1?e??0.5Tsz?1(d) Ha(s)没有单重极点，不能进行部分分式展开。 ? Ha(s)?A
(s?s0)2? ha(t)?tes0tu(t)
根据脉冲响应不变法，有： h(n)?ha(nTs)?nTse对其进行z变换有：
s0nTsu(nTs) ，
Tses0Tsz?1 H(z)? s0Ts?12(1?ez)9.27用脉冲响应不变法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为
fs?6.28318kHz，截止频率fc?1kHz。并画出该系统的并联型结构。
解：三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： Hb(s)?1s3?2s2?2s?1
去归一化后得系统函数为： Hb(s)?Hb(s)s?cs??3c?3 22s?2s?c?2s?c??3c?j将其进行部分分式展开，有：
??c?(?c/3)e6?(?c/3)e6 Hb(s)? ??s??cs??c(1?j3)/2s??c(1?j3)/2根据（9.55）和（9.56）式有： H(z)?j??c1?e??cz?1?(??c/3)e1?e?j?6?1??c(1?j3)/2z??(?c/3)e1?ej?6??c(1?j3)/2z?1，
将?c??cT?1代入上式，整理后有：
10.5774?0.7z?1? H(z)?。 ?1?1?21?0.3678z1?1.212z?0.3678z其并联型结构如下图所示：
?
D 0.3678 x(n)
y(n) 0.5774 ?D ???1.212 -0.7 D -0.3678
9.28 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs?1.2kHz，
截止频率fc?400Hz。
解：对模拟低通截止频率进行预畸变，有： ?c?tg?c2?tg2?fc/fs?1.732 2三阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为： Hb(s)?1s?2s?2s?132
对上式去频率归一化，得： Hb(s)?Hb(s)s?cs??3c?3 223s?2s?c?2s?c??c 将?c?1.732 代入上式整理后有： Hb(s)?5.196
s3?3.464s2?6s?5.196 对Hb(s)进行双线性变换，有： H(z)?Ha(s)s?1?z?11?z?1?1.32z?3(1?z?1)3 ?2?1?1.934z?2.911z?3.01
9.29利用双线性变换法设计满足下列技术要求的数字低通滤波器：
fp?1.2kHz,Ap?0.5dB;fr?2kHz,Ar?40dB;抽样频率fs?8kHz.
(a)用巴特沃思型设计。 （b）用切比雪夫型设计。 解：（a）用巴特沃思型设计
对频率进行预畸变，有：
?c??p?tg?p2?tg2?fp/fs2?0.5095
?r?tg(?r2)?tg(2?fr/fs)?1 2 由公式9.32得滤波器的阶数满足：
lg(100.1Ar?1)/(10 n?lg(?r/?p)?滤波器阶数为n?9
0.1Ap?1)lg(100.1*40?1)/(100.1*0.5?1)??8.38
1lg()0.5095查表9.1可得9阶巴特沃思模拟低通滤波器的归一化系统函数为：
Hb(s)?1s9?5.759s8?16.582s7?31.163s6?41.986s5?41.986s4?31.163s3?16.582s2?5.759s?1 根据表9.5，得巴特沃思数字低通滤波器的系统函数为： H(z)?Hb(s) =
11?z?1s??c1?z?1
(1?z?1)9432(1?z?1)9?1254(1?z?1)8(1?z?1)?1842(1?z?1)7(1?z?1)2?1766(1?z?1)6(1?z?1)3?...?1214(1?z?1)5(1?z?1)4?619(1?z?1)4(1?z?1)5?235(1?z?1)3(1?z?1)6?63.7(1?z?1)2(1?z?1)7?...
?...?11.28(1?z)(1?z)?(1?z)
?1?18?19(b) 用切比雪夫型设计,根据(9.37)计算低通原型的阶数
ch?1(100.1Ar?1/10 n?ch?1(?r/?p)0.1Ap?1)?4.82
故阶数n?5
查表9.3可得5阶切比雪夫低通滤波器的归一化系统函数为： Hc(s)?1 5432s?1.17249s?1.93737s?1.30957s?0.75252s?0.17892根据表9.5，得切比雪夫数字低通滤波器的系统函数为： H(z)?Hb(s)s?11?z?1?c1?z?1
=
(1?z?1)528.92(1?z?1)5?17.3(1?z?1)4(1?z?1)?14.59(1?z?1)3(1?z?1)2?5.03(1?z?1)2(1?z?1)3?...
...?0.75252(1?z)(1?z)?0.17892(1?z)
?1?14?149.30利用双线型变换法设计数字低通滤波器。指标为：通带最大波动Ap?0.5dB；阻带最
小衰减Ar?60dB；通带截止数字频率?p?0.25?,阻带截止数字频率?r?0.3?，抽样频率fs?2kHz。
(a)用巴特沃思型设计。 (b)用切比雪夫型设计。
