?tanC·tanD? ∵△APE∽△BPF ∴AE·ABAE ?BF·ABBFAEAP? BFBPAP3AE?，∴?3 BP1BF ∵P为半径OB的中点 ∴ ∴tanC·tanD＝3
例4. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上任一点，求证：DB?DC?DA
⌒
分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE ∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60°
∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD
在△AEB和△ADC中，
?BE?CD? ?∠ABE?∠ACD
?AB?AC? ??AEB??ADC ∴AE＝AD
∵∠ADB＝60°
∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA
说明：本例也可以用其他方法证明。如：
（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。
（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。
例5. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。
分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。
解：连结OD，BD
⌒⌒ ?AD?DC，∴AD?DC
∴∠ABC＝∠AOD ∴OD∥BC ∴ODEO? BCEBOD2?，∴OD?8 123 ∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO ?BC?12，∴ ∴AB＝16，BE＝24
∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠EDA＝∠EBC ∵∠E是公共角 ∴△EDA∽△EBC ∴ADEAED?? BCECEB 设AD＝DC＝x，ED＝y，则有
xy8?? 1224x?y 解方程组，得：x?42 ?AD?42 ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝∠F＝90° 又∠DAB＝∠FCB ∴Rt△ADB∽Rt△CFB ?ADAB4216?，即? CFBCCF12 ?CF?32
说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。
例6. 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于
点F、D，过D作⊙O的切线交FC于E，若AF＝7，cosB?3，求CE的长。 5
解：连结FD
∵AB是直径，∴AD⊥BC
∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB ∵四边形ABDF是圆内接四边形 ∴∠CFD＝∠B ∵∠C是公共角 ∴△ABC∽△DFC ∴CDDF? ACAB ∵AB＝AC ∴CD＝DF
（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。） ∵DE切⊙O于D ∴∠FAD＝∠EDF
又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB ∴∠CDE＝∠DAB ∴∠CDE＝∠EDF ∵CD＝FD
∴CE＝EF，DE⊥CF
3，∠B?∠C 53 ?cosC?
5CD3? 在Rt?ACD中，cosC?AC5 ?cosB? ∴设CD＝3x，AC＝5x
在Rt?CDE中，cosC? ?EC?EC3EC，即? CD53x9x 518x 5 ?AC?AF?2CE ?5x?7? x?5 ∴EC＝9
例7. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。
解：∵公共弦AB＝120 ?a4?R6?120
?a?222 r6?R6??4??120?60?603
?2? ?O1?60，a4?120，R4?o22AB?602 22?a?2 ?r4?R4??4???2?2?602??602?60，∠O2?90o
?S弓形AmB?S扇形AO2B?S?AO2B90?R214??a4r4?1800??3600
3602 S弓形AnB?S扇形AO1B?S?AO1B60?R216??a6r6?2400??36003
3602 ?S阴影?S弓形AmB?S弓形AnB?4200??36001?3
?两圆相交弧间阴影部分的面积为4200??36001?3cm
例8. （2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。
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