图1 速度共振曲线 图2 位移共振曲线 3.2、位移共振
驱动力的频率ω为何值时才能使音叉臂的振幅A 有最大值呢？对式（9）求导并令其一阶导为零，即可求得A的极大值及对应的ω值为：
A?F02m????202 （14）
?r??02?2? （15）
由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的圆频率???r时，音叉臂的位移振幅A 有最大值，称为位移共振，这时的ω＜ω0。位移共振的幅值A随ω的变化曲线如图2所示。
由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼?有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼?很小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。
比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，
当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点有最大幅值的速度时，其运动时受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大．这就是位移共振与速度共振并不发生在同一条件下的原因．显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图2的位移共振曲线清楚地看出来。 4、音叉的振动周期与质量的关系
从公式（4）T?2???2????202可知，在阻尼?较小、可忽略的情况下有：
4
T?2??0?2?m （16） k这样我们可以通过改变质量m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为256Hz的音叉的两臂上对称等距开孔，可以知道这时的T变小，共振频率f变大；将两个相同质量的物块mX对称地加在两臂上，这时的T变大，共振频率f变小。从式（16）可知这时：
4?2?(m0?mX) (17) T?k2 其中k为振子的劲度系数，为常数，它与音叉的力学属性有关。m0为不加质量块时的音叉振子的等效质量，mX为每个振动臂增加的物块质量。
由式（17）可见，音叉振动周期的平方与质量成正比。由此可由测量音叉的振动周期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。
四、实验仪器
音叉受迫振动与共振实验仪包括260Hz左右基频的钢质音叉，2个电磁激振线圈、阻尼装置、4对加载质量块（由小到大为5g一对、10g两对、15g一对,其中一对10g的可以作为未知质量块）、测试架、音频信号发生器、三位半2V交流数字电压表等。
音叉受迫振动与共振实验仪
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实验装置连线图
五、实验步骤
1、将实验架上的驱动器连线接至实验仪的驱动信号的“输出”端，实验架上的接收器接至实验仪的测量信号“输入”端。驱动波形和接收波形的输出可以连接到示波器观测。测量信号“输入”端内部与交流电压表相连。
连接好仪器后接通电源，使仪器预热10分钟。
2、测量不同状态下音叉的速度幅频特性、以及相应的共振频率和输出电压Umax。 音叉的不同状态包括自由（无阻尼）状态和不同阻尼状态（要求至少测量两种不同的阻尼状态）。测量时应先找到大概的共振频率，同时选择一个合适的驱动信号输出幅度（选定后整个实验过程中保持不变），然后按照频率由低到高，测量数字电压表示值U与驱动信号的频率f之间的关系（数据表格如下图所示），注意在共振频率附近数据应密集一些，确保找准共振频率。
驱动信号输出幅度： 阻尼大小： f (Hz) U（V）
…… …… 6
3、在无阻尼状态下，将不同质量块（5g、10g、15g、20g、25g）分别加到音叉双臂指定的位置上，并用螺丝旋紧。测出音叉双臂对称加相同质量物块时，相对应的共振频率。记录m~f关系数据，（数据表格如下图所示）。 m（g） f (Hz)
六、数据处理
1、找出音叉在不同阻尼下（包括零阻尼）作受迫振动时的共振频率及相应的Umax。 2、在同一个坐标系中绘制不同阻尼下（包括零阻尼）的U~f关系曲线。求出两个半功率点f2和f1，计算音叉的锐度（Q值）。并对结果进行分析。 3、绘制周期平方T2与质量m的关系图，分析其特点和意义。
七、注意事项
1、实验中所测量的共振曲线是在策动力恒定的条件下进行的，因此实验中手动测量共振曲线或者计算机自动测量共振曲线时，都要保持信号发生器的输出幅度不变。
2、加不同质量砝码时注意每次的位置一定要固定，因为不同的位置会引起共振频率的变化。
3、驱动线圈和接收线圈距离音叉臂的位置要合适，距离近容易相碰，距离远信号变小。测量共振曲线时驱动线圈和接收线圈的位置确定后不能再移动，否则会造成曲线失真。
八、拓展问题
1、平移阻尼块的位置，可能会发生什么现象？
2、在重复测量时，前后的实验结果可能不完全一致，可能的原因有哪些呢？
九、参考文献
1、《大学物理教程》 第一册 第二版 吴锡珑 主编 高等教育出版社 2、《音叉的速度共振与位移共振曲线的测量和研究》 倪敏 薛珍美
—《实验室研究与探索》 2010年第2期
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