即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±
,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.
18.解 (1)由已知,有P(A)=
所以,事件A发生的概率为
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+219.(1)解 依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)解 由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①
直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率直线MF1的方程为y=-(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2),
②
①②联立,解得x=-8,
=1.
=-,
13
故点M的轨迹方程为x=-8.
(3)证明 依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),
点N在切线MP上,由①式得yN=, 点M在直线MF1上,由②式得yM=,
|NF21|2=,|MF1|=[(-2)-(-8)]2
+,
故
=, ③
注意到点P在椭圆C上,即
=1,
于是,代入③式并整理得
,故
的值为定值
20.(1)解 ∵f(x)=ln(1+x)+x2
-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=
①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,
则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x) ②当0 当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间 内单调递减, 此时,f(x) ③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. ④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞). (2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立, 14 即ln(1+x) ∴ln +ln +…+ln +…+… 由于n∈N*,则 =1. ∴ln <1. 由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-x2 +…+ 即 , 得 由于n∈N* ,则 ,即 +…+ln 15 ln
