第7章习题答案
1．f（x）=2?x?+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？ 解：它的值域是正奇数集合。
2．试问下列关系中哪个能构成函数？ （1）{?x，y??x，y?N，x+y?10} （2）{?x，y??x，y?R，y=x2} （3）{?x，y??x，y?R，y2=x} 解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。
3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。 （1）{?1,?2,3??,?2,?3,4??,?3,?1,4??,?4,?1,4??} （2）{?1,?2,3??,?2,?3,4??,?3,?3,2??} （3）{?1,?2,3??,?2,?3,4??,?1,?2,4??} （4）{?1,?2,3??,?2,?2,3??,?3,?2,3??} 解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。
(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{?2,3?,?3,4?,?1,4?} (2)的定义域是{1,2,3},值域是{?2,3?,?3,4?,?3,2?} (4)的定义域是{1,2,3},值域是{?2,3?}
4．设f，g都是函数，并且有f?g和dom（g）=dom（f），证明f=g 证明：假设f?g，因为f?g和dom（g）=dom（f），则存在x1?dom（g）和dom（f），使得?x1,y1??g但?x1,y1??f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得?x1,y2??f，由f?g得?x1,y2??g，这与g是函数满足单值性矛盾。故假设错误，必有f=g。
5．设f, g都是函数，证明f ∩ g是函数。 证明：
（1）处处有定义。
对于f ∩ g中的x? dom（f ∩ g）若不存在y使得
对于
6．设X={0，1，2}，求出XX中的如下函数 （1） f2（x）=f（x） （2） f2（x）=x （3） f3（x）=x 解：（1）有10个函数，分别是： f1（x）={?0,0?,?1,0?,?2,0?} f2（x）={?0,1?,?1,1?,?2,1?} f3（x）={?0,2?,?1,2?,?2,2?} f4（x）={?0,1?,?1,1?,?2,2?} f5（x）={?0,2?,?1,1?,?2,2?} f6（x）={?0,0?,?1,0?,?2,2?}
f7（x）={?0,0?,?1,2?,?2,2?} f8（x）={?0,0?,?1,1?,?2,0?} f9（x）={?0,0?,?1,1?,?2,1?} f10（x）={?0,0?,?1,1?,?2,2?} （2）有4个函数，分别是： f1（x）={?0,0?,?1,1?,?2,2?} f2（x）={?0,0?,?1,2?,?2,1?} f3（x）={?0,2?,?1,1?,?2,0?} f4（x）={?0,1?,?1,0?,?2,2?} （3）有3个函数，分别是： f1（x）={?0,0?,?1,1?,?2,2?} f2（x）={?0,1?,?1,2?,?2,0?} f3（x）={?0,2?,?1,0?,?2,1?} 7.考察下列从 R→R的各函数
(1) f(x) = x + 3 (2) g(x) = 2x + 1 (3) h(x) = - x/2 (4) k(x) = x – 2 试确定：f?g，g?h?k，g?f?h 解：
f?g = (2x + 1) + 3 = 2x + 4
g?h?k = 2[- (x – 2)/2] + 1 = - x + 3 g?f?h = 2(- x/2 + 3) + 1 = -x + 7
8．设f,g,h是N → N 的函数, 其中N是自然数集合，f(n)＝n＋1, g(n)＝2n,
?0h(n)???1若n是偶数若n是奇数
试确定：f?f，f?g，g?h，h?g及(f?g)?h。
解：?f?f??x??f?f?x???f?x?1??x?1?1?x?2
?f?g??x??f?g?x???f?2x??2x?1
?g(0)若x是偶数?0若x是偶数 (g?h)(x)?g(h(x))?????g(1)若x是奇数?2若x是奇数?h?g??x??h?g?x???h?2x??0
?(f?g)(0)若x是偶数?1若x是偶数（(f?g)?h）(x)?(f?g)(h(x))?????(f?g)(1)若x是奇数?3若x是奇数
9.设图7.10分别表示三个函数f, g, h，确定： （1）g ? f
（2）h ? (g ? f) （3）(h ? g) ? f
a1a2a3a4fb1b2b3b4b1b2b3b4gc1c2c3c1c2c3d1d2d3h
图7.10 题9函数
解：
（1）g ? f = {
（2）h ? (g ? f) = {
10.设f是从A->A的函数，证明：对任意的m, n?N，都有fm ? fn = fm+n 证明：
mnm+n
根据定理7.3，函数的复合具有结合性，因此有f ? f = f11.设f:A->B，g:B->C，证明下面结论。
（1）若g?f是单射的且f是满射的，则g是单射的。 （2）若g?f是满射的且g是单射的，则f是满射的。 解：
（1）g?f是单射，有对任意a1, a2?A, 有g（f(a1)） = g（f(a2)） =>a1 = a2，且f是满射，则对任意b1, b2?B，有b1 = b2 <=>a1 = a2，g(b1) = g(b2) =>b1 = b2，所以g是单射。
（2）对任意b?B,由于g是单射，有b1 = b2 => c1 = c2，又因 g?f是满射，因此对任意a1, a2?A，有g(f(a1)) = g(f(a2)) => a1 = a2,因此有b1 = b2 => a1 = a2，所以f是满射。
12.设f:A->A，存在正整数n使得fn = IA，证明f是双射的。 证明：
由题有fn-1?f = IA且f ?fn-1 = IA ，则根据定理7.6有fn-1 = f-1,
所以有fn-1?f = f-1?f = IA ，f ?fn-1 = f? f-1 = IA，得到f = f-1。对于任意x，有f(x) = y，f-1(x) = y，即对值域中的任意y存在唯一x满足
13.列出使用价值X = {a，b，c}到Y = {0，1}的所有函数，并指出其中哪些函数是单射的、满射的或双射的。 解： f :X->Y
f1 = {
f7 = {
这里面没单射，f2~f7是满射，没有双射。
14．下列函数中哪一个是单射的、满射的或双射的？ （1） f：Z+?R，f（n）=log10n，Z+为正整数 （2） f：R+?R，f（n）=log10n，R+为正实数 （3） f：R?R，f（x）=2x-15
（4） f：R+?R?R+，f（x，y）=xy，R+为正实数 （5） f：R+?R?R，f（x，y）=xy，R+为正实数 解：（1）单射，（2）双射，（3）双射，（4）满射，（5）不单射不满射。 15．设g?f是一复合函数，试证明：
（1）如果f和g都是满射的函数，则g?f也是满射的函数。 （2）如果f和g都是单射的函数，则g?f也是单射的函数。 证明：设f：X?Y，g：Y?Z，则g?f：X ?Z （1）因为? , g都是满射函数，所以对于任意z∈Z，存在 y∈Y 使得g(y)=z，对于y，存在x，使得f(x)=y .因此有 g(?(x))= g(y)=z, 即(g??)(x)=z . 根据满射函数的定义， g??是满射的 . （2）对于任意x1，x2?X， 设g?f（x1）=g?f（x2），即g（f（x1））=g（f（x2）） 因为g是单射的函数，所以f（x1）= f（x2） 同理因为f是单射的函数，所以x1=x2
根据单射函数的定义，g?f是单射函数。
16.设X，Y是有穷集合，试问从X->Y有多少不同的单射函数f和有多少种不同的双射函数g？（用#Y和#X表示之）。 解：
X单射函数的个数为P##Y= #Y!/(#Y-#X)!
双射函数个数为#X!
17．设g和f是函数，证明下面的结论
（1） 如果g?f是满射函数，则g是满射函数。 （2） 如果g?f是单射函数，则f是单射函数. 证明：设f：X?Y，g：Y?Z，则g?f：X ?Z (1)对于任意z?Z，因为g?f是满射函数，
所以，存在x?X，使得g?f（x）=z，即g（f（x））=z。
又因为f是函数，必存在y，使得f（x）=y。把f（x）=y代入g（f（x））=z得g（y）=z。根据满射函数的定义，g是满射函数。 (2) 对于任意x1，x2?X，
设f（x1）= f（x2），因为g是函数，所以 g（f（x1））=g（f（x2）），即g·f（x1）=g·f（x2） 因为g · f是单射函数，所以x1=x2 ， 根据单射函数的定义，f是单射函数。
18.设A是任意集合，证明从A->ρ（A）存在一个单射函数。 证明：
