答案：
5－1
2
8．解析：由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋235－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5， 所以|PM|＋|PF1|≤235＋5＝15. 答案：15
9．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为
??????????????????(－2，0)、(2，0)，可得F1A ＝(m＋2，n) F2B＝(c－2，d)．∵ F1A＝5 F2B，
?m＋62nm22
∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n＝1，553
m＋62
5
3
?2
＋()＝1.解得m＝0，
5
n2
n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
答案：(0，±1) 三、解答题
16
10．解：(1)将(0, 4)代入C的方程得2＝1，∴b＝4，
bc3a2－b29由e＝＝得2＝，
a5a25
169
即1－2＝，∴a＝5，
a25∴C的方程为＋＝1.
2516
44
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为 y ＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，
554x?x－3?2
y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x－3x－8＝0，解得
52525
2
2
x2y2
x1＝3－413＋41，x2＝， 22
－x1＋x23
∴AB的中点坐标x＝＝，
22－
y1＋y226
y＝＝(x1＋x2－6)＝－，
2
5
5
36即中点坐标为(，－)．
25
11．解：由题设知，a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为(－1，－
2)． 2
5
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k222＝＝. －12－224(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P(，)，
4233340＋32422
A(－，－)．于是C(，0)，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.
333223
＋33
242|－－|
33322
因此，d＝＝. 22
31＋1
22
(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±记μ＝，22
421＋2k1＋2k则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．
0＋μkk故直线AB的斜率为＝，
μ＋μ2
x24x2
x2y2
k222222
其方程为y＝(x－μ), 代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k)x－2μkx－μ(3k＋221＋2kμ?3k＋2?μ?3k＋2?μk2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B (，222)．
2＋k2＋k2＋k2
2
3
uk3
2－μk2＋kk3－k?2＋k2?1
于是直线PB的斜率k1＝＝2＝－. 22μ?3k＋2?3k＋2－?2＋k?k－μ2
2＋k因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线0－?－y1?y1kPB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝. x1－?－x1?2x12
22
y2－y1y2－?－y1?2y2－2y1
从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝222＋1＝22＋1＝
x2－x1x2－?－x1?x2－x1
?x2＋2y2?－?x1＋2y1?4－4
＝22＝0. 2x2x2－x12－x1
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 12．解：(1)由已知得a＝2，b＝1， 所以c＝a－b＝3.
所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，
2
2
2222
6
离心率为e＝＝
ca3. 2
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，33
)，(1，－)，此时|AB|2＝3.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.
?y＝k?x－m?，当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由??2
?x?4
＋y2
＝1.
8k2
mx＋4k2m2
－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
2
22
x＋x8km4km－4
12＝1＋4k2，x1x2＝1＋4k2.
又由l与圆x2
＋y2
＝1相切，得|km|
k2＋1
＝1，
即m2k2
＝k2
＋1.
所以|AB|＝?x2
2
2－x1?＋?y2－y1? ＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] 42
22
＝
?1＋k2
?[64km4?4km－4?4?1＋4k2?2－1＋4k2]＝3|m|m2＋3
. 由于当m＝±1时，|AB|＝3，
所以|AB|＝43|m|
m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝43|m|
43
m2＋3
＝
≤2，|m|＋
3 |m|且当m＝±3时，|AB|＝2， 所以|AB|的最大值为2.
2
得(1＋4k2)x2
－
7
