《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编
第一单元 函数与极限
一、填空题 1、已知f(sinx)?1?cosx，则f(cosx)? 。 2(4?3x)22、lim? 。
x??x(1?x2)3、x?0时，tanx?sinx是x的 阶无穷小。 4、limxsinx?0xk1?0成立的k为 。 x5、limearctanx? 。
x????ex?1,x?06、f(x)??在x?0处连续，则b? 。
?x?b,x?07、limln(3x?1)? 。
x?06x8、设f(x)的定义域是[0,1]，则f(lnx)的定义域是__________。 9、函数y?1?ln(x?2)的反函数为_________。 10、设a是非零常数，则lim(x??x?ax)?________。 x?a12311、已知当x?0时，(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a?________。 12、函数f(x)?arcsin13、lim3x的定义域是__________。 1?xn???x2?2?x2?2?____________。
x?2ax)?8，则a?________。 x?a14、设lim(x??15、lim(n?n?1)(n?2?n)=____________。
n???二、选择题
1、设f(x),g(x)是[?l,l]上的偶函数，h(x)是[?l,l]上的奇函数，则 中所给的
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函数必为奇函数。
（Ａ）f(x)?g(x)；（Ｂ）f(x)?h(x)；（C）f(x)[g(x)?h(x)]；（D）f(x)g(x)h(x)。 2、?(x)?1?x，?(x)?1?3x，则当x?1时有 。 1?x（Ａ）?是比?高阶的无穷小； （Ｂ）?是比?低阶的无穷小； （C）?与?是同阶无穷小； （D）?~?。
?1?x?1?,x?0(x??1)在x?0处连续，则k? 。
3、函数f(x)??31?x?1?kx?0?（Ａ）
32； （Ｂ）； （C）1； （D）0。 23n??4、数列极限limn[ln(n?1)?lnn]? 。
（Ａ）1； （Ｂ）?1； （C）?； （D）不存在但非?。
?sinx?x?x?5、f(x)??0?1xcos?x?x?0x?0x?0，则x?0是f(x)的 。
（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。 6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是（ ）
（Ａ）f(x)?lgx2，g(x)?2lgx； （Ｂ）f(x)?x，g(x)?x2；
22（C）f(x)?3x4?x3，g(x)?x3x?1；（D）f(x)?1，g(x)?secx?tanx。
7、 limsinx= （ ）
x?0|x|（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C） 0； （D） 不存在。 8、 lim(1?x)? （ ）
x?01x（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e； （Ｄ） e。
?1
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9、f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的（ ）
x?x0（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件. 10、 ?limx(x?1?x)?（ ）
x??2（Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C）
1； （D） 0。 211、设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??，则必有（ ）
n??n??n??（A）an?bn对任意n成立； （B）bn?cn对任意n成立； （C）极限limn??ancn不存在 ； （D）极限limn??bncn不存在。
112、当x?1时，函数x2?1x?1x?1e的极限（ ）
（Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为?； （Ｄ）不存在但不为?。 三、计算解答 1、计算下列极限 （1）limnxn??2sin2n?1； （2）limcscx?cotxx?0x ；
1（3）limx?2x?1?3xx??x(e?1)； （4）limx????2x?1?? ；
（5）lim8cos2x?2cosx?11?xsinx?cosxx??32cos2x?cosx?1； （6）limx； x?0xtan（7）lim?n????111??1?2?2?3???n(n?1)??ln(1?32?x)?； （8）lim。 x?2arctan34?x2３、试确定a,b之值，使lim??x2?1?ax?b????12。 x?????x?1?４、利用极限存在准则求极限
1?12?111(1)limn??1?13???n?n?1。
2?13???1n（2）设x1?a?0，且xn?1?axn(n?1,2,?)，证明limn??xn存在，并求此极限值。
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nx?n?x5、讨论函数f(x)?limx的连续性，若有间断点，指出其类型。
n??n?n?x6、设f(x)在[a,b]上连续，且a?f(x)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??。
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