31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A, B, C, D.
????????AB?{0,1,2}, AD?{2,?2,1}
则由A，B，D三点所确定三角形的面积为
S1????????1351?2|AB?AD|?2|5i?4j?2k|?2. 同理可求其他三个三角形的面积依次为
12,2,3. 故四面体的表面积S?12?2?3?352. 32.解：设四面体的底为?BCD，从A点到底面?BCD的高为h，则 V?13?S?BCD?h，
?1???????????而S?BCD2BC?BD?12?4i?j?8k?92 又?BCD所在的平面方程为:4x?y?8z?15?0
则h?4?1?8?1516?1?64?43
故V?13?92?43?2 33. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.
证明：????????AB?{1,3,4},AC?{2,6,8}
????????显然AC?2AB
则????????????????????????AB?AC?AB?2AB?2(AB?AB)?0 故A，B，C三点共线.
34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M(x, y, z) ???????M0M?{x?1,y?1,z?1} ??????????????因M0M?n,故M0M?n?0.
即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0
整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.
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解：（1）两点所确立的一个向量为 s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：
x?12?y?23?z?1?2 或
x?32?y?13?z?1?2
（2）直线方向向量可取为
s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为：
x?3?2?y?11?z?3x?1?2y1z?3?3 或 ??
36. 求直线??2x?3y?z?4?0?3x?5y?2z?1?0的标准式方程和参数方程.
解：所给直线的方向向量为 s?n1?n2?3?5?12i??1223j?233?5k?i?7j?19k
另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:
x1?y?7?7?z?17?19
且直线的参数方程为：
?x?t??y?7?7t ?z?17?19t?37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行 故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)
故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0
即3x-2y+6z+2=0.
38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.
??????解：所求平面的法向量可取为n?OM0?{1,7,?3} 故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0 即x+7y-3z-59=0
39. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.
解：设平面在y轴上的截距为b 则平面方程可定为
x2b?yb?z2b?1
又(1,2,-1)在平面上，则有
12b?2b??12b?1
162
得b=2.
故所求平面方程为
x4?y2?z4?1
40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 x?x1x2?x1x3?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1x?1y?1?2?1?1?1z?12?1?0 2?1代入三已知点，有?2?11?1化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.
解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)
图7-2 图7-3
(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5） (5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.
图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C}
已知平面法向量为n1={1,1,-1} 过已知两点的向量l={1,1,1}
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由题知n·n1=0, n·l=0 即A?B?C?0???C?0, A??B.
?A?B?C?0 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0
又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.
43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件： （1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成π4的角.
解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k-2×6=9
得k=-4.
（2） 两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1} 且cos??n1?n2|n??3k?cosπ?21||n2|5?k2?1442
解得k??702 44. 确定下列方程中的l和m:
(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}
nl31?n2?2m??6??1?m??23,l?18
(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}
n1?n2?3?1?5?3?l?2?0?l?6.
45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C}
n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}
?2n?n1?A?B?C?0?A??Cn?n???3
2?2A?B?C?0???B?C3又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0
故所求平面方程为
?23Cx?C3y?Cz?0
即2x-y-3z=0
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