13. 2 ? 14. 521 15.6 16.
52
三．解答题
17. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因f?x?的图象上相邻两个最高点的距离为?，所以f?x?的最小正周期T??，从而??2??2. T又因f?x?的图象关于直线x?2??3对称，所以
,因??3???k???2,k?0,?1,?2,?2????2得k?0
所以???2?2????. 363??1????????（Ⅱ）由（1）得f???3sin?2????,所以sin?????. 6?4?2??26?4?由?6???2???得0????, 3622????15???1?所以cos?????1?sin2?????1????. 6644??????3??因此cos???2?????????sin??sin?????? ??6?6?????????????sin????cos?cos????sin 6?66?6??131513?15=? ???42428
18．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵an?1?4ana?21111?11?11，∴?????， ，∴?n??an?122?an2?an?2an?14an42an∴又a1?1，?11?11111??，所以数列???是以为首项，为公比的等比数列． a12222?an2?1111?（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知?????an22?2?n?1?1， 2n即111nnn?n?，∴bn??n?， an22an221223n， ① ??…?22232n设Tn??则Tn?1212n?1n， ② ??…??22232n2n?11?11?n?1111n22由①－②得，Tn??2?…?n?n?1??1222221?2∴Tn?2?121n?n， n?122n(n?1)， 42?nn(n?1)． ?2n4????n?1?1?n， 2n?12n2n?1又(1?2?3?…?n)?∴数列{bn}的前n项和Sn?2?19．（本小题满分12分）
解法一：（I）证明：连结OC，??ABD为等边三角形，O为BD的中点，?AO?BD
?ABD和?CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB?2,AC?6， ?AO?CO?3. 在?AOC中，AO2?CO2?AC2，??AOC?90?， 即AO?AC, BDOC?0， AD?面BCD （Ⅱ）解：设点O到平面ACD的距离为h, 11VO?ACD?VA?OCD， ?S?ACD?h?S?OCD?AO 33在?ACD中，AD?CD?2,AC?6，S?ACD?6?115 ?6?22??????22?2?2而AO?3,S?OCD?S315 ,?h??OCD?AO?2S?ACD515. 5?点O到平面ACD的距离为（Ⅲ）过O作OE?BC于E,连结AE，AO?平面BCD，
?AE在平面BCD上的射影为OE
?AE?BC ??AEO为二面角A?BC?D的平角。
在Rt?AEO中，AO?3,OE?3AO5 ,tan?AEO??2,cos?AEO?2OE55. 5?二面角A?BC?D的余弦值为解法二：（I）同解法一.（Ⅱ）设平面ACD的法向量为m?(x,y,z), 又DA?(0,1,3),DC?(3,1,0) ?y?3z?0??m?DA?0????m?(1,?3,1) ????m?DC?3x?y?0设OA与m夹角为?， 则cos??m?OA5,设O到平面ACD的距离为h，?5|a|?|OA|h51515 ??h?,?O到平面ACD的距离为OA555（Ⅲ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则
O(0,0,0),A(0,0,3),B(0,1,0),C(3,0,0),D(0,?1,0) AO?平面BCD， ?平面BCD的法向量AO?(0,0,3) 设平面ABC的法向量n?(x,y,z) AB?(0,1,?3),BC?(3,?1,0) ?y?3z?0??n?AB?0????n?(1,3,1) 由???3x?y?0?n?BC?0?设n与AO夹角为?，则|cos?|?n?AO5, ?5|n|?|AO|5. 5∴二面角A?BC?D的余弦值为20. （本小题满分12分）
解：（I）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．
18 3 15 1 9 3 15 1
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝
3053023010302设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
M＝－ABCD＋A－BCD＋AB－CD＋ABC－D．
2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 1 3 1 3 1 45 9
则P（M）＝＋＋＋＝＝．
5210252102521025210220040
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
147551177
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，
20010020040200
P（ξ＝3）＝
45 9 9＝，P（ξ＝4）＝． 20040200
ξ的分布列为：
ξ 0 7 1001 2 3 9 404 9 200p 1177 40200E（ξ）＝0
14557745938019＋1＋2＋3＋4＝＝． 20020020020020020010
21. （本小题满分12分）
解：：（I）解：在方程x2??y?8中令y = 0得：x??22 ∴A(?22，0)，B(22，0) 设P(x，y)，则kAPkBP?x2y2?1 整理得：?84x2y2?1. ∴动点P的轨迹C的方程为?84yy1??? 2x?22x?22（Ⅱ）解：①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：y = kx + m，,M(x1，y1)，
N(x2，y2).
