第1讲 三角函数的图象与性质
［做高考真题·明命题趋向］
［做真题—高考怎么考］
[做真题]
题型一 三角函数图象及其变换
2π
2x＋?，则下面结论正确1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin?3??的是( )
π
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6个单位长度，得到曲线C2
π
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12个单位长度，得到曲线C2
1π
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
26单位长度，得到曲线C2
1π
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移212个单位长度，得到曲线C2
π
x＋?，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来解析：选D．易知C1：y＝cos x＝sin??2?π1π
2x＋?的图象，再把所得函数的图象向左平移个单的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin?2??212π2ππ
x＋?＋?＝sin?2x＋?的图象，即曲线C2，故选D． 位长度，可得函数y＝sin?2?3????12?2?2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
π
x－?的图象可由函数y＝sin x＋3cos x＝解析：函数y＝sin x－3cos x＝2sin??3?π2π
x＋?的图象至少向右平移个单位长度得到． 2sin??3?3
2π答案： 3
题型二 三角函数的性质
ππ?π
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间??4，2?单调递增的是( ) 2A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos|x|
B．f(x)＝|sin 2x| D．f(x)＝sin|x|
ππ?ππ
，时，2x∈?，π?，函数解析：选A．A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈??42??2?2ππ?ππ
，时，2x∈?，π?，f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈??42??2?2函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；
?sin x，x≥0，
D中，f(x)＝sin|x|＝?由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周
－sin x，x<0，?
期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A．
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；
π?
②f(x)在区间??2，π?单调递增； ③f(x)在[－π，π]有4个零点； ④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ C．①④
B．②④ D．①③
解析：选C．通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，π?π故①正确；当 所以f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C． 优解：因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正π?π 确，排除B；当 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) π A． 43πC． 4 πB． 2D．π π x＋?，且函数y＝cos x在区间[0，π]上解析：选A．法一：f(x)＝cos x－sin x＝2cos??4?ππ3π 单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以 444πππ 解得a≤，所以0 444 法二：因为f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f′(x)＝－sin xπ x＋?≥0在[－a，a]上恒成立，－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即2sin??4? －a＋≥0，?4πππ x＋?的图象可知有?2sin?解得a≤，所以0 ?a＋4≤π， π ??3π?a≤4，π －a≥－， 4 结合函数y＝ π 大值是，故选A． 4 π 4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是( ) 3A．f(x)的一个周期为－2π 8π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 3π C．f(x＋π)的一个零点为x＝ 6π D．f(x)在(，π)单调递减 2 解析：选D．根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝ π8ππ x＋?＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝时，x＋＝3π，所以cos??3?33 π4ππ4π3π x＋π＋?＝cos?x＋?，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)cos?3???3?632ππ22 x＋?在?，π?上单调递减，在?π，π?上单调递增，故D不正确．所以选D． ＝cos??3??23??3? ππ ω＞0，|φ|≤?，5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?x＝－为f(x)的零点，2??4π5π?π x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在??18，36?单调，则ω的最大值为( ) 4 A．11 C．7 B．9 D．5 πππkT 解析：选B．因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋ 4422π5π?T2ππ11 ，单调，所以T≥，k≤，又当(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在??1836?4622k＋1π5π?π5πππ ，不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在?，?k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在??1836??1836?44单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 3?0，π??的最大值是________．6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈ 4??2??解析：依题意，f(x)＝sin2x＋ 313?2?23cos x－＝－cosx＋3cos x＋＝－cos x－＋1，因442?? π3 0，?，所以cos x∈[0，1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1. 为x∈??2?2 答案：1 ［明考情—备考如何学］
