等差数列前n项和公式的几个性质和与应用
河北 张根全
等差数列是高中数学的一项重要内容，其中心是通项公式与前n项和公式。透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。现就等差数列前n项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。
性质1：设等差数列?an?的前n项和公式和为Sn，公差为d，m.n?N
*则①
SNSm1???n?m?d nm2m?n?Sm?Sn??Sm?Sn?mnd m?n*②Sm?n?性质2：设等差数列?an?的前n项和公式和为Sn，m.n.k?N
若m.n.k成等差数列，则
SmSnSk,,成等差数列 mnk*性质3：设等差数列?an?的前n项和公式和为Sn，p.q.m.n.?N
若p?q?m?n，则
Sm?SnSp?Sq ?m?np?q性质4：设等差数列?an?的前n项和公式和为Sk
①当n?2k?k?N*?时，S2k?k?ak?ak?1? ②当n?2k?1?k?N*?时，S2k?1??2k?1?a2k?1
例1：（人教版高中数学第一册上P1237题）如果等差数列?an?的前4项和是2，前9项和是
?6，求其前n项和公式。
?S9S41?1????9?4?d??942解：由性质1得：?
?Sn?S4?1?n?4?d?2??42?n将S4?2,S9??9代入?1?,?2?得：Sn??7243n?n 3030131S4的等比4例2：（97年全国高考文科卷）设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知S3和中项为
111S5，S3和S4的等差中项为1，求等差数列?an?的通项公式an。 534解：由性质1和题意知，
11?S4S31?S3(1)????4?3d?d?1?d?4?33224??1?S4S3?S4??2?1?d 解得：(2)??4344??3?S5S41?S51?1?d????5?4d?d?5?(3)4422?5?SS12?S??3??1??1?又?5??4?3，即?1?d???1?d??1?d?，∴d?0或d??
5444543????????当d?0时，S3?3，∴an?1,n?N* 当d??2212?1?12??24时，S3??1??? ???3?55?4?5??又S3?3a1?3?2?12?24d，即3a1?3????，∴a1?4 2?5?5故an?4??n?1????12?3212?n,n?N* ???5?155例3：(人教版高中数学第一册上P122)一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
5?27???S?S?S??27?63?1?752??5?23解：由性质1知：?
SS13?7?4??7?4?d?d?2??422?7又S4?24，代入上式：d?2，则S4?4a1?4?3d?4a1?12?24 2?解有a1?3，∴an?a1??n?1?d?2n?1，n?N
例4：首项为25的等差数列的前9项和等于前17项和，问此数列的前多少项和最大，并求此最大项。
解：由性质1得：S9?17?9?17S9?17?0 9?17由Sn的对称性知S13最大，又S17?S9
17?169?8d?9?25?d，∴d??2 2213?12???2??169 故所求最大项为S13?13?25?2即17?25?例5：（人教版高中数学第一册上Pan?是等差数列，Sn是其前n项和，12310题）已知数列?设k?N，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等差数列吗？ 解：由k,2k,3k成等差数列，据性质1可知：
?SkS2kS3k,,成等差数列。 k2k3k则2?S2kSkS3k??，∴：3S2k?3Sk?S3k 2kk3k即2?S2k?Sk??Sk??S3k?S2k?，故，Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等差数列。 例6：（人教版高中数学第一册上P142第4题）两个等差数列?an??,bn?。 且
a1?a2???an7n?2a，求5。 ?b1?b2???bnn?3b5解：设?an??,bn?的前n项和分别为Sn,Tn，由性质4有：S9?9a5,T9?9b5
∴
a5S97?9?265 ???b5T99?312a55S?，求9 a39S5例7：已知等差数列?an?的前n项的和为Sn，若解：由性质4：S9?9a5,S5?5a3
∴
S99a595????1 S55a359
