参 考 答 案
1.1试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数 【解】
由理想气体状态方程pV=nRT，可知：
????1??V?1nR1??Vp?TV??T??p1??p?1nR1????p??T?vpVT1??V?1nRT1????2V??p?TVpp
?T??1.3在0℃和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为α = 4.85*10-5 K-1和κT =
7.8*10-7 pn-1，α和κT可近似看作常量。今使铜块加热至10℃，问： （1）压强要增加多少pn才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100pn，铜块体积改变多少？ 【解法一】
（1）铜块体积不变时，压强仅是温度的函数，故
dp??p?，又 ???T???VdT??p??V??p????T???T??V???V????T??，所以
?T???pdp?，积分得： ?dT?T?4.85?10?5?p??T??10?622pn ?7?1?T7.8?10pn（2）
??V???V?dV??dT???dp??VdT-?TVdp??T?p??p??TdV??dT-?TdpV V2dVT2p2??dT??V1V?T1?p1?Tdp)Vln2???T??T?pV1因α和κT很小，而ΔT和Δp不甚大，故上式右端近于零，从而有下列近似：
1
lnV2V2?V1，即体积变化率 ?V1V1注：ln(1+dx) ~ dx，ln(1+Δx)≈Δx，Δx很小时
?V???T??T?pV?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100
?4.07?10?4【注】以上解法中数学、物理概念严格，逻辑清楚，同学们在解题时应借鉴。同时该法具有普遍适用性，不依赖于两个系数是否很小，是否为常量。此外，该解法不依赖于物态方程是否能记住。因此该法需着重掌握！！学习微积分的目的就是要学会用微元和变化的思想来解决问题，这一基本思想具有极其重要的意义，这是相对于中学学习在思想方法上质的飞跃。真正掌握这点本科阶段学习可近乎无难题！ 【解法二】
铜块的α和κT很小，并题设可视作常量，此时铜块满足物态方程：
，其中ΔT = T-T0，Δp = p-p0。 V(T,p)?V0(T0,p0)(1???T??T?p) （1）
（1）当改变温度（注：压强随之而变）时，体积不变，即V(T,p)?V0(T0,p0)，可知：
??T??T?p=0，从而
?4.85?10?5?p??T??10?622pn ?7?1?T7.8?10pn（2）由式（1）易得：
?VV(T,p)?V0(T0,p0)????T??T?p，代入数据得体积变化率 V0V0(T0,p0)?V?4.07?10?4 V0
1.4简单固体和液体的α和κT都很小，在一定温度范围内（注：范围不太宽）可视作常量。试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
V(T,p)?V0(T0,p0)(1???T??T?p)，其中ΔT = T-T0，Δp = p-p0。
【证】
由上题【解法一】（2）知：
?V???T??T?p V将上式中V替换为V0(T0,p0)，ΔV替换为V(T,p)-V0(T0,p0)，略作变形即得题中物态方程。
1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关闭。试证明：小匣内的空气在没有和外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差ΔU
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= p0V0，其中V0是原来它在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。 【解】
设想有如图所示的容器，中部有隔板，左侧抽成真空，右侧与大气相通。抽去隔板后，右方V0体积的气体进入左侧，并当压强达到外界压强p0时将隔板装上。气体在该容器中的行为与题设条件下相同。
设容器截面积为S，右侧V0体积的气体（系统）在恒外压p0下被推进距离为x， 则外界对系统做功量W = p0Sx = p0V0。 p0 p0,V0,T0 p0,V,T 由题设知上述过程为绝热过程，故有 ΔU = p0V0。
对于理想气体有：dU=CVdT，同时易于想象题设条件下温度变化不甚大，故CV可视为常量，从而有ΔU=CV(T -T0) = p0V0 =nRT0，故 T = γT0，据此易证V= γV0。
1.8满足pVn = C（常量）的过程称为多方过程，其中常数n称多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为
Cn?n??CV n?1【证】
设多方过程中，气体在温度改变ΔT时，从外界吸热ΔQ，由热一定律知： ΔQ=ΔU-W，而该过程中外界做功量可表为
W???pdV???CdVV1V1Vn1CC?(n?1?n?1) (n?1)V2V1V2V2?则，
p2V2?p2V2?(pV)?(n?1)(n?1)?U??(pV)n?1?T Cn?lim?Q?lim?T?0?T?T?0nR?TnR?CV?limn?1?CV??T?0?Tn?1n???CVn?1请思考：为什么该过程不是等容过程lim?U也可表为CV ?T?0?T
1.9试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常量，该过程一定是多方过程，多方指数n?【证】
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Cn?CpCn?CV，假设气体的定压热容和定容热容是常量。
Cn?lim?Q?Q? 【注：因输入法的原因，式中以?Q代表?Q，表示微元过程的热效
?T?0?TdT应，等式右端同样表达的是微商（但不是导数，更不是偏导数），故?Q可表为CndT】，从而?Q=CndT，据热一定律有：
?W=dU-?Q=(CV-Cn)dT，同时?W可表为-pdV，故有
CV?Cnd(pV)??pdVnR(CV?Cn)(pdV?Vdp)??nRpdV ?(Cn?CV)Vdp?(Cn?Cp)pdV记n?Cn?CpCn?CV，显然n为常数，则上式可变为
?11dp?ndV，两边作不定积分得： pVpVn = C（常量）
故该过程为多方过程。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是对流层中不同高度之间的空气不断发生对流，由于气压随高度降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩过程可以认为是绝热过程。试计算大气温度随高度的变化率
dT，并给出数值结果。 dz【解】
【注：熵S是系统的状态函数，当然也可看作状态参量，压强p和熵S可以独立变化，故物态方程可表为T = T (p, S)。】
对T = T (p, S)求全微分，并假定气体经历一准静态绝热过程（熵不变，dS=0）得：
??T???T?dT??dp????S?dS?p??p??S??T???T?dp??dp?dz?????p?S??p?Sdz
dT??T?dp ???dz??p?Sdz将教材提示的两式代入，即得：
dT(??1)Mg??，式中M为空气摩尔质量。温度、压强（高度）变化不是太大时，γ视dz?R为常数，值为1.4。
1.12假设理想气体的Cp和CV之比γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为
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