第六讲 数论二
一、带余除法的定义及性质
1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a=b×q+r，
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式．这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2、余数的性质
⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键
理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．
二、三大余数定理 1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数．
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数．
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理
a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差．
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23?16=7除以5的余数等于2，两个余数差3?1=2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减．
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23?14=9除以5的余数等于4，两个余数差为3+5?4=4 3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数．
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例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3． 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数．
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同．
三、同余定理
1、 定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：
a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式．同余式读作：a同余于b，模m．
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
（17?11）例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除．
（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a?b=mk，k是整数，即m|(a?b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； ⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
例题1
8中，被除数最小等于 。 【一】除法算式□?□=20【分析】 本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是8?1?9，所以
本题答案为：20×（8+1）+8=188.
【二】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．
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1013?12?1001，1001?7?11?13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于【分析】
除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。
例题2
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【分析】 被除数?除数?商?余数?被除数?除数+17+13=2113，所以被除数?除数=2083，由于被除数是除
数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）÷=115，所以被除数=2083-115=1968．
例题3
著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？ 【分析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数
定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
例题4
【一】求2461?135?6047?11的余数． 【分析】 因为2461?11?223...8，135?11?12...3，6047?11?549...8，根据同余定理(三)，
2461?135?6047?11的余数等于8?3?8?11的余数，而8?3?8?192， 192?11?17...5，所以2461?135?6047?11的余数为5．
【二】求644312?19的余数 【分析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2，求原
式的余数只要求212?19的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环，因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整，212?26?26?64?64，
64÷19余数为7，那么求212?19的余数就转化为求64?64?19的余数，即49÷19的余数。 49÷19余数为11，所以原式644312?19的余数为11.
例题5
某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
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例题6
【一】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所
求的数为(543?345)?33?6．
【二】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254?220?34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．
如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．
例题7
【一】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？ 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34
的公约数，所求答案为17．
【二】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______． 设除数为A．因为2836，4582，5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A整除．又因为余数是两位数，所以A至少是两位数．4582-2836=1746，5164?4582?582，6522?5164?1358，因为(582,1358)?194，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果A?194，
2386?194?14120，余数不是两位数，与题意不符．如果A?97，经检验，余数都是23，除数?余数
?97?23?120．
例题8
在正整数1，2，3，4…..中，第311个不能被5整除的数是________。
【分析】此数列每5个数就会出现一个5的倍数。311?4?77.....3那么77?5?3?388
练习1
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