显然在初值a0?3000的情形下,该动力系统的数值解图形如下
图1-11 支付宿舍租金的活期储蓄账户
现在把迄今的观察结果集中起来,按照常数r的值来对三个例子及其长期行为进行分类.
求平衡点并对其进行分类
确定是否存在平衡点并将其分为稳定的或不稳定的,这将有助于分析该动力系统的长期行为.
在例3(地高辛处方)中,怎么知道0.2的起始值会导致常数解或平衡点呢?类似地，怎么知道例4（年金问题）中对于投资100000美元的同样问题的答案呢？
对于形为：an?1?ran?b的动力系统，如果存在平衡点a的话，根据平衡点定义不难看出，平衡点a必将满足
a?ra?b
由此容易求出
a?b1?r,r?1
如果r?1,b?0，那么每个初始值都将导致常数解（平衡点）。因此每个值（起始值）都是平衡点。下面的定理总结了我们的观察。
Th2 动力系统an?1?ran?b,r?1的平衡点就是a?b?0，那么每个数都是平衡点。如果r?1而b?0b1?r，如果r?1而且
，那么平衡点不存在。并且
有：①r?1有稳定平衡点；②r?1有不稳定平衡点；③r?1没有平衡点或者图形是一条直线。
对动力系统an?1?ran?b,r?1的解的猜测 在r?1（有稳定平衡点）情形下，注意到
limr?0,limak?1?limak?a?k??k??kb1?rk??
因此我们猜测该动力系统的解为：
ak?rc?kb1?r
其中c为依赖于初始条件的某个常数（在给定起始值a0的条件下，c??）。请同学们对这个解的正确性加以验证。事实上对于r?1的情形也有类似结论。
Th3 动力系统an?1?ran?b,r?1的解为ak?rkc?b1?r，其中c为依赖于初
始条件的某个常数。
例6 再论投资年金
对于例4中建立过模型的年金问题，需要多少初始投资才能保证20年（240个月）才把它用尽？
解：动力系统an?1?1.01an?1000的平衡点为
a?b1?r??10001?1.01?100000。
设它的解是 ak?1.01kc?100000， 令 a240?0?1.01240c?10000， 解得
c??100000/(1.01)240??9180.58。
所以有
a0?(1.01)c?10000??9180.58?100000?90819.420
因此，初始投资90819.42美元就能使我们在20年里从账户中每月提款1000美元（总的提款额为240000美元）。在20年的年底，账户中的存款就被取尽了。
再次考虑酵母生物量的模型:
pn?1?pn?0.00082(665?pn)pnp0?9.6
做一些代数运算后,该动力系统可以改写为:
an?1?r(1?an)an
其中an?0.0005306pn,r?1.546.由该方程决定的序列an的长期行为对参数r的值是非常敏感的.我们从a0?0.1开始,对不同的r值画出了数值解的图形.
