第七讲
鸡兔同笼问题
一、知识要点和基本方法
1．鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、免总头数和总脚数，求鸡、 兔各有多少只．
（1）解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：
先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔． （2）解决鸡兔同笼问题的基本关系式是： 鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）． 兔数＝（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）． 注意，这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出免数或鸡 数，又知总数，所以另一个也就知道了． 2．鸡兔同笼问题的变型有两类：
（1）将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况：
已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只； 已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只； 已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只．
（2）将基本问题中同笼的是鸡、免两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等．
注意：鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决．
二、练习题
A 组
1．今有鸡兔共35头，脚共有94只，求鸡、免各有多少头？
2．动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只？
3．三种昆虫共 18只，它们共有 20对翅膀 116条腿，其中每只蜘蛛无翅8条腿；每只精蜒有两对翅膀6条腿；每只蝉有1对翅膀6条腿，问这三种昆虫各有多少只？ 4．买语文书30本，数学书24本共花83．40元，每本语文书比每本数学书贵0．44元．每本语文书和数学书的价格各是多少？
5．松鼠妈妈采松子，晴天每天可采16个，雨天每天可采11个，一连采了若干天，有晴天，也有雨天，其中雨天比晴天多3天，但采的个数却比晴天采的个数少27个，问一共采了多少天？
6．某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣 1分，不做得0分，小华得了76分，问小华做对了几道题？
7．甲、乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地．已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回途中相遇．如果小张速度比小王速度每小时多走1．5千米，求两人的速度． 8．有一辆货车运输 2 000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费379．6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
B 组
9．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天，甲先做了多少天？ 10．开明书店五天卖出《五年级数学同步练习》和《六年级数学同步练习》共120本．《六年级数学同步练习》每本5元；五年级数学同步练习》每本3．75元．营业员统计结果表明：这五天内所卖《六年级数学同步练习》的收人比《五年级数学同步练习》的收入多162．问这五天内开明书店所卖的两种5元，同步练习册各有多少本？
11．箱子里有红、白两种颜色的玻璃球．红球数是白球数的3倍多两个．每次从
箱子里取出7只白球，15只红球．若经过若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只红球．那么箱子里原有红球多少只？
12．甲、乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3
分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发？
13．姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛，商定算对一题给20分，错一题扣 12分．姣姣和甜甜各算了 10道题，两人共得 208分，姣姣比甜甜多得64分，问姣姣和甜甜各算对了多少道题？
14．某种考试已举行了24次，共出了426题，每次出的题数有25道，或者16
道，或者20道，那么，其中考25题的有多少次？
测 试 题
1．有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九．”问民谣中有多少个猎手和多少条狗？
2．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？
3．春风小学3名同学去参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道倒扣 3分，不做得0分，这3名同学都做了所有一题．小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分．问他们三人一共答对了多少题？
4．某班同学外出春游，买车票99张，共花280元，其中单程每张2元，往返每张4元，问单程票与往返票相差几张？
5．某商场为招揽顾客举办购物抽奖，奖金有三种：一等奖 1000元，二等奖250元，三等奖50元，共有100人中奖，奖金总额为9500元．问其中二等奖有多少名？
6．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍，已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？
第八讲
牛吃草问题
一、知识要点和基本方法
1．牛吃草问题
1 一个牧场，12头牛4周吃草3格尔，21头牛 9周吃草10格尔，问24格
3尔牧草，多少头牛18周吃完？（注：格尔——牧场的面积单位．）
这个实际问题是世界著名的大科学家牛顿所著的《普通算术》一书中的一道题目，以后人们将这类问题称为“牛吃草问题”．
2．研究“牛吃草问题”所涉及的量有三个：牛的头数，牧场面积，天数（时间）．所用的方法一般而言是比较法，为了比较方便，要使两种情况的草场面积一致（详见例题分析）．
3．研究解决“牛吃草问题”的出发点一般是从牧场中草的生长量着手，因此要关心的量有两个：“该牧场原有的草量”及“每天新生长的草量”．
尤其要注意的是在描述“牛所吃草的数量”时所用的单位，采用千克、平方米等反而不方便．一般要用“单位1”．
二、练习题
A 组
1． 牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周．如果牧草每周匀速生长，那么它可供21头牛吃几周？ 2． 牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．问供25头牛吃多少天？ 3． 画展9点开门，但早就有人排队人场．以第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个人场口，则9分钟后就不再有人排队；如果开5个人场口，则5分钟后就不再有人排队．那么第一个观众到达的时间是几点几分？ 4． 一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃从第7天起又增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛（草每天匀速生长，每头牛每天的吃草量相等）？
B 组
5． 某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10个人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25个人检票进站．如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？ 6． 由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，牧场的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么可供11头牛吃几天？ 7． 一片牧草，可供 16头牛吃 20天，也可供 80只羊吃 12天，如果每天l头
牛的吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片牧草，问几天可以吃完这片牧草（牧草每天生长速度相同，每只羊、每头牛每天的吃草量相同）？ 8． 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级．若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍．那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？
测 试 题
1． 有三块草地，面积分别为4公顷、8公顷和10公顷，三块草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周；第二块草地可供36头牛吃12周．问第三块草地可供50头牛吃几周？ 2． 一水库库存水量一定，河水均匀人库．如果用5台抽水机，连续抽20天可将库水抽干；如果用6台抽水机，连续抽15天可将库水抽干．现在希望6天将库水抽干，问需要几台抽水机（每台抽水机每天的抽水量相同）？ 3． 由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的，固定的（单位可以是页／天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．现在公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？
