课题：椭圆中与焦点三角形有关的问题
研究需要的知识：椭圆定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等。 x2y2性质一：若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆ab上一点，且?F1PF2??，则S?F1PF2?b2tan证明:略
?2。 x2y2例1．若P是椭圆??1上的一点，F1、F2是其焦点，且?F1PF2?60?，求△F1PF2的面积．
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PF1?PF2x2y21?，则例2 已知P是椭圆??1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若259|PF1|?|PF2|2△F1PF2的面积为（ ）
A. 33 B. 23 C. 3 D.
3 3x2y2例3（04湖北）已知椭圆??1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一
169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A.
9799997 B. C. D. 或
77544x2y2?练习1：P是椭圆??1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若?F1PF2? ，则S?PF1F2?_______。
546x2??y2?1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若?F1PF2? ，则S?PF1F2?_______。练习2：P是椭圆 43x2y2?错题：P是椭圆??1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若?F1PF2? ，则?PF1F2的面积等于
543_______。为什么错？
x2y2??1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q 两 点，当四边例4设F1、F2为椭圆43?????????形PF1QF2面积最大时，PF1?PF2的值等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
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性质二：当点P从右至左运动时，?F1PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，?F1PF2达到最大。 x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中ab?F1PF2??,则cos??1?2e2.（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 证明：
x2y2例1：椭圆??1的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 ?F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范
94围是_______。
x2y2问题1. 椭圆F2，点P为其上一点，当?F1PF2为直角时，点P的横坐标是_______。 ??1的焦点为Fl、
94问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
x2y2??1的焦点,在C上满足PF1?PF2的点P的个数为？例2：F1,F2是椭圆C: 84总结：1如点P运动到短轴端点B1时，?F1PF2恰为直角，则在椭圆上满足PF1?PF2的点的个数是 2如点P运动到短轴端点B1时，?F1PF2为钝角，则在椭圆上满足PF1?PF2的点的个数是 3如点P运动到短轴端点B1时，?F1PF2为锐角，则在椭圆上满足PF1?PF2的点的个数是
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x2y2例3：已知F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，椭圆上一点Pab使?F1PF2?90?，求椭圆离心率e的取值范围。 方法一：
方法二：
x2y2例4：已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得
ab?F1PF2?1200,求椭圆的离心率e的取值范围。
x2y2例5：若椭圆??1的两个焦点F1、F2，试问：椭圆上是否存在点P，
43使?F1PF2?90?？存在，求出点P的纵坐标；否则说明理由。 方法一：
方法二： x2y2性质四：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2，ab?PF1F2??,?PF2F1??,则椭圆的离心率e?证明：
sin(???)。 sin??sin?x2y2练习1：P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?,ab?F1PF2?3?,椭圆的离心率为e?___________．
练习2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF1F2?15,?PF2F1?75，则椭圆的离心率为___________．
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??2b2性质五：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。 ay2x2例1：已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．求
ab椭圆C1的方程。
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