§1.1 空间几何体
1．1.1 构成空间几何体的基本元素
【学习要求】
1．了解空间中点、线、面、体之间的关系． 2．了解轨迹和图形的关系．
3．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系． 【学法指导】
通过探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养从多角度、多方面观察和分析问题的能力. 填一填：知识要点、记下疑难点
1．如果只考虑一个物体占有空间部分的 形状 和 大小 ，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体． 2．长方体由 六个矩形 围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做 长方体的棱 ；棱和棱的公共点叫做 长方体的顶点 ；长方体有 12 条棱， 8 个顶点． 3．构成几何体的基本元素： 点、线、面 ． 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]
在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．那么构成几何体的基本元素有哪些？这些元素之间有怎样的关系？
探究点一 构成几何体的基本元素
问题1 平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？ 答： 平面图形； 点与直线．
问题2 构成几何体的基本元素是什么？ 答： 点、线、面．
探究点二 平面及其表示法
问题1 我们说平面图形是指由同一平面的点、线组成的图形，我们通常把平面这个词挂在嘴边，可什么叫平面呢？数学中怎样理解平面呢？如何表示平面？
答：平面是从诸如桌面、墙壁、黑板面等现实的物理世界中抽象出来的．平面是处处平直的面，在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成是无限延展的． 问题2 立体几何中，通常画平行四边形表示平面，那么对画出的平行四边形有怎样的要求？ ．．答：(1)画的平行四边形表示的是整个平面； (2)加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面：如用三角形、矩形、圆等； ．．(3)画图表示平面的平行四边形时，通常将其画成长边是短边的2倍． 问题3 平面怎样命名？
答：平面一般用一个希腊字母α，β，γ，…来命名，还可用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如平面α，β，平面ABCD或平面AC等． 问题4 从集合的角度来看，点、线、面、体之间有怎样的相互关系？
答： 点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集． 问题5 从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系是怎样的？ 答： (1)点运动成直线和曲线；
(2)直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动．平行移动形成平面和曲面；绕点转动形成平面和曲面； (3)面运动成体．
探究点三 点、线、面之间的位置关系
问题1 如何用运动观点来理解空间基本图形之间的关系呢？
答：(1)在几何中，可以将线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过空间的部分)可以形成一个几何体．
(2)直线平行移动，可以形成平面或曲面，也就是说曲面可以包含直线；直线绕定点转动，可以形成锥面． 问题2 点和线有怎样的位置关系？直线与直线有怎样的位置关系？ 答： 点在线上或点在线外． 平行，相交，既不平行也不相交．
问题3 直线和平面有怎样的位置关系？平面和平面有怎样的位置关系？ 答： 在平面内，平行，相交． 平行，相交．
问题4 怎样说明直线和平面平行？怎样说明直线与平面垂直？ 答： 直线和平面没有公共点，我们说直线和平面平行．
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如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线与平面垂直． 问题5 怎样说明两个平面平行？如何说明两个平面互相垂直？ 答： 如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．
如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，我们说这两个平面互相垂直． 例1 如图所示，在长方体ABCD— A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延
伸为直线，6个面延展为平面，那么在这 12条直线与6个平面中：
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？ (2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BC′平行的平面有哪几个？ (4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？ 解： (1)有平面ADD′A′与平面ABCD； (2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′； (3)有平面ADD′A′；
(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD； (5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．
小结： 如果直线AA′垂直于平面ABCD的两条相交直线，我们说直线AA′就垂直于平面ABCD，A为垂足，记作直线AA′⊥平面AC，直线AA′称为平面AC的垂线，平面AC称作直线AA′的垂面．线段AA′为点A′到平面AC内的点所连线段中最短的一条，线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离． 跟踪训练1 判断以下说法的正误： (1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体ABCD—A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；
(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．
解： (1)错误．因为长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别． (2)正确． (3)正确．
例2 判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)平面的形状是平行四边形；
(2)任何一个平面图形都是一个平面； (3)圆和平面多边形都可以表示平面；
(4)若S?ABCD>S?A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；
(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．
解： (1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状； (2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面； (3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素； (4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小； (5)不正确．平面是无限延展的，无边界．
小结： 本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力． 跟踪训练2 下列命题：
①书桌面是平面； ②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m； ④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的． 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．下列关于平面的说法正确的是 ( )
A．平行四边形是一个平面 B．平面是有厚薄的 C．平面是有边界线的 D．平面是无限延展的 解析：平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形并不是一个平面．由于平面是无限延展的，故选D. 2．下列说法正确的是 ( )
A．在空间中，一个点运动成直线 B．在空间中，直线平行移动形成平面
C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 解析： 一个点运动也可以成曲线，故A错； 在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错； 在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．
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3．以下结论中不正确的是 ( ) A．平面上一定有直线 B．平面上一定有曲线 C．曲面上一定无直线 D．曲面上一定有曲线
解析： 由于直线平行移动可以形成平面或曲面，所以曲面上不一定无直线，故C不正确．
课堂小结：
1．点、线、面是构成几何体的基本元素．
2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面． 3．平面的记法
(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名； (2)平面图形顶点法．
4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．
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