小学四年级奥数培训教材
第五讲 图形的计数
【专题分析】
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起就构成了复杂的几何图形，要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确地、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1、弄清楚被数图形的特征和变化规律； 2、要按一定的顺序数，做到不重复、不遗漏。
【王牌例题】
例1 数出下列图形中有几条线段。
【思维点拨】 要想数线段不重复，不遗漏，就需要按一定的顺序去数，再从中找出规律，数线段的条数，一般方法如下：
方法：从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD。 从B点出发的不同线段有2条：BC、BD。 从C点出发的线段只有1条：CD。 因此，图中有3＋2＋1＝6（条）线段 答：图中有6条线段。
注：数线段的一般规律：如果一条线段被分成几条“基本线段”，那么这条线段上所有线段的总条数是：1＋2＋3＋?＋ｎ＝（ｎ＋1）×ｎ÷2（条），这也适合其它一些图形。
【模仿训练】
1、下图中共有几条线段： （1）
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（2）
（3）
例2 数一数下面有多少个锐角？
【思维点拨】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，如以A点的锐角有∠AOB，∠AOC,∠AOD,∠AOE，4个角；以B为点的锐角有∠BOC，∠BOD，∠BOE，3个角；以C为点有∠COD，∠COE，2个角；以D为点有∠DOE，1个角。可根据公式：（ｎ＋1）×ｎ÷2
（4＋1）×4÷2＝10（个） 或者 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中共有10个锐角。 【模仿训练】
下列各图中分别有多少个锐角？
（1） （2）
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例3 数一数下面图中共有几个三角形？
【思维点拨】 图中AD边上的每一条线段都能与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就能构成几个三角形。因为AD边上共有4个端点，就有1＋2＋3＝6（条）线段，所以图中有6个三角形。
1＋2＋3＝6（个）
答：图中一共有6个三角形。
【模仿训练】 数一数下面图中各有多少个三角形？ （1） （2） （3）
例4 下图（1）、图（2）中各有多少个长方形？
【思维点拨】
（1）图（1）长方形的个数与AD边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以，长方形的总个数等于边上线段的条数，即长方形的个数为：
4＋3＋2＋1＝10（个）
（2）图（2）中AB边上共有线段4＋3＋2＋1＝10（条），BC边上共有线段2＋1＝3（条），把AB边上每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一条长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（2）中共有长方形为：
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（4＋3＋2＋1）×（2＋1）＝30（个）
注：如果长方形的“长”上有ｍ条基本线段，“宽”上有ｎ条基本线段，那么，这个长方形中长方形的总数为：（1＋2＋3＋…＋ｍ）×（1＋2＋3＋…＋ｎ）
【模仿训练】 数一数下面各图中分别有多少个长方形？
例5 数一数，下图中有多少个正方形（每个小方格为边长1厘米的正方形）？
【思维点拨】
图中边长为1厘米的正方形有3×3＝9（个）；边长为2厘米的正方形有2×2＝4（个）；边长为3厘米的正方形有1×1＝1（个）。所以图中正方形总数为：
1×1＋2×2＋3×3＝14（个） 答：图中有14个正方形。
注：经进一步分析可以发现，由相同的ｎ×ｎ个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋?＋ｎ×ｎ
【模仿训练】 数一数，下图中有多少个正方形（每个小方格为边长1厘米的正方形）？
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