第;六章 广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev空间简介
函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数
?1?h(x)????0x?0x?0
求导数，并把导数记为?(x)。但按照经典分析的理论，h(x)并不可导，因此?(x)不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。但是，这个?(x)在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式ei?x(x?(??,??))，?是实参数，并考虑如下形式的积分
12??1????ei?xdx
这种积分按Cauchy积分来定义，即
12??????ei?xdx?limn??2???n?nei?xdx?lim1sinn?n????
显然，这个极限在普通意义下不存在。然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的
?(x)，并认为是Dirac符号。特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于?(x)的运算法
则，并广泛地使用。
例6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
6.1 基本函数空间与广义函数
6.1.1基本函数空间
把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。
在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。 对于欧氏空间R,x?(x1,x2,?,xn)表示Rn中的点，范数x?(x?x???xn)。设
p1,p2,?,pnn2122122为n个非负整数，有序数组p?(p1,p2,?,pn)称为多重指标。
应用泛函分析(第二版)
p?p1?p2???pn。对于多重指标p，引进偏微分算子
Dp??p?x11?x22??xnnppp
n??R是非空开集，?是?的闭包。C(?)表示在?上定义的连续函数全体组成的线性空
间。对于任何非负整数k，Ck(?)表示全体在?内由k次连续可微的偏导数，且在?上的连续的函数组成的线性空间，特别C0(?)?C(?)。设?的支集是集合
{x??:?(x)?0}
在?内的闭包，并记为supp??{x??:?(x)?0}。
C0(?)?0k表示Ck(?)中满足支集是?内紧集（有界集）的所有函数组成的空间，
?C(?)??k?0C0(?)，即表示支集是?k内紧集的无穷次可微函数全体。显然，下面的包含关
系成立
C0(?)???C0?k?1(?)?C0(?)???C0(?)k
例6.4 设Rn上定义的函数为
1??2?Ce1?xj(x)??n?0? x?1 x?1这里Cn是依赖于维数n的常数，即
1???21?xdx? Cn＝??ex?1?????1
那么j(x)是无穷次连续可微的，且suppj??x?Rn:x?1?，?j(x)?C0(R)。从j(x)?nRnj(x)dx?1，因此
出发，我们可以构造出许多C0?(Rn)中的函数。下面我们来构造对
任何非空开集?，C0?(?)中的函数。为此，对任意??0，记
j?(x)?1?nj(x?)，那么j??C0?(Rn)
【定理6.1】 设?(x)是?上定义的一个可积函数，并且在?的一个紧集K外恒为零，
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则当??0充分小时，可积函数
??(x)?是C0?(?)中的函数。
证明：记K???x?Rn:dist(x,K)???，这里dist(x,K)表示x到K的距离，当?充分小时，K???，当x?K?时，对一切y?K均有x?y??，于是
j?(x?y)?0。
???(y)j?(x?y)dy
??(x)????(y)j?(x?y)dy??K?(y)j?(x?y)dy?0
因此supp???K?，而
????lim
?x1h?0?1?h?j?(x?he1??y)?j?(x?y)??(y)dy
j?(x??he1?y)?(y)dy?limh?0???x1上式利用了微分中值定理，??(0,1),e1?(1,0,?,0)?Rn，又j?是连续可微函数，因此存在M?0使
??x1j?(x)?M(?x?R)
n应用Lebesgue控制收敛定理，得
????x1?lim?h?0???
?x1j?(x??he1?y)?(y)dy???
?x1j?(x?y)?(y)dy由于j??C0?(Rn)，对任何多重指标p?(p1,p2,?,pn)重复上述过程，可得到 Dp???于是???C0?(?)。
下面我们在C0?(?)上引进收敛的概念。
【定义6.1】 设??i??C0?(?)，??C0?(?)，如果满足下列条件： （1） 存在一个紧集K??，使得 supp?(j?)Kj?(1?,2,),p?su?pK (??Dj?(x?y)?(y)dy
p应用泛函分析(第二版)
（2） 对于任意多重指标p?(p1,p2,?,pn)，函数列?Dp?j?在K上一致收敛 于Dp?，即
maxDp?j(x)?Dp?(x)?0(j??)
x?K则称??i?收敛于?，记为?j?D而称C0?(?)按照收敛概念及线性运算为基本函数空间，???，并记为D(?)，在?明确时，可简写为D。
根据D中收敛概念的定义，容易证明： （1） 设??j?，??j??D；?，??D，如果
D ?j?D???,?j????
则对任何数?,?有
??????? ??j???j?D这说明D中的线性运算关于收敛概念是连续的。
（2） 对任一多重指标p，Dp:D?D这一线性映射是连续的，即 ??j??D,??D
??? 则若 ?j?Dp??D?。 那么 Dp?j?D【定义6.2】 称??i??D为Cauchy列，如果满足： （1） 存在紧集K使supp??i??K?j?1,2,??;
（2） 对???0，及多重指标p，存在自然数N，使当j1,j2?N时，有 maxDp?j?x??Dp?j?x???
x?K12【定理6.2】D是完备的，即若??i??D是任意一个Cauchy列，则存在??D，
???。 使得?j?D证明留作习题。
