成都外国语学校高2014级第二学三月月考数学试题
一、选择题：(每小题5分共60分，每个题共有4个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的填在答题卷上，否则不得分)
1．在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x等于（ ）C A．11 2．sin150?( )D
A．
14B．12
24C．13
6?42D．14
6?42 B． C． D．
3．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,?叫做三角形数；把1,4,9,16,?叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( )C
A．16 B．25 C．36 D．49 4．已知?ABC中，A?150,a?6?2,b?A．750 B．1050或750
6?2，则C?(
C．600
3，则
)D
D．600或900
?( 335．在?ABC中，已知A,B,C成等差数列，且b?A．2
B．
12sinA?sinB?sinCa?b?c)B
C．3 D．
6．在?ABC中,tanA是以?4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以2为公差,
9为第五项的等差数列的第二项，则这个三角形是（ ）A
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．在?ABC中，sinA?A．?3365513,cosB?35，则cosC?( )B
C．?5665 B．?1665 D．?1665或
5665
8．如右图，A,B两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量A,B两点间的距离，选取一条基线
CD，测得：CD?200m,?ADB??ACB?300,?CBD?600，则AB?(
20033)A
A． m B．2003
A
C．1002m D．数据不够，无法计算
9．有以下命题：①对任意的??R都有sin3??3sin??4sin3?成立；②对任意
的?ABC都有等式a?bcosA?ccosB成立；③满足“三边是连续的三个正整数且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；④若A,B是钝角?ABC的二锐角，则sinA?sinB?cosA?cosB。其中正确的命题的个数是( )B A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知?,??(0,?)，且tan??
A．
?5?9?,, 44417,tan??13B
，则??2??( )D
C．
?9?, 44D
D．
?4C
B．
?5?, 44
11．已知地球的半径为R，同步卫星在赤道上空Hkm的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空。如果此点与北京在同一条子午线上，北京的纬度为
?(0????2)，则在北京观察此卫星的仰角的余弦值为( )B
A．cos? B．
(R?H)sin?R?(R?H)?2R(R?H)cos?22
- 1 -
C．sin? D．
2Hsin?R?H2
?2RHcos?12．已知?ABC的三边a,b,c满足：a3?b3?c3，则此三角形是( )B A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题：(每小题4分，共16分，请把结果填在答卷上，否则不给分)
13．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d1；等差数列{bn}的首项为b1，公差为d2。若数列{cn}满足：cn?an?bn(n?N*)，且c1?4,c2?8，则数列{cn}的通项公式为_______________答案：cn?4n
14．已知平面上共线的三点A,B,C和定点O，若等差数列{an}满足：OA?a15OB?a24OC，则数列{an}的前38项之和为___________19 15．观察以下各等式：①sin2300?cos2600?sin300cos600?34； ②sin2150?cos2450?sin150cos450?34； ③sin2200?cos2500?sin200cos500?34。
分析上述各式的共同点，写出一个能反映一般规律的等式为____________________________
16．上图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项。则这个数列的一个通项公式为________________答案：a8n?1n?7或an?28n2?76n?49
三、解答题：
17．(12分)化简或求值：①tan700sin800(3tan200?1)；②A是?ABC的内角，且
sinA?cosA??713，求tan(?4?A)的值。
解：①原式00000?sin70cos70?cos100?(3sin20cos20?1)?sin70cos700?cos100?3sin20?cos20
00cos2000000?cos20sin200?cos100?2sin(20?30)sin100cos200??2cos10sin200??1 ????????6
分 ②
由
sinA?cosA??713?(1)，
得
(sinA?cosA)2?1?2sinAcosA?49169?2sinAcosA??120169
则(sinA?cosA)2?1?2sinAcosA?289169，又A是?ABC的内角且sinAcosA?0，则A为
钝角，
则sinA?cosA?17?(2)，由(1)和(2)得sinA?5,cosA??12,tanA??513131312
tan?则tan(??A)?4?tanA1?5?1241?tan??7????????????????12分
4tanA1?5171218．(12分)已知数列{an2?n1n}中的前n项和为Sn?2，又bn?S。(1)求数列{an}的通项公
n - 2 -
式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn。 解
：
n?n22(1)
?(n?1)?(n?1)22当
n?2时，
an?Sn?Sn?1??n??????????????3分 a1?S1?1?122 当
n?1时，
?1，项
也公
适
式
合上为
式???????????????????5分 列的通?数{an}1Sn2n?n2an?n。???????????????????????6分
(2)bn???2(1n?1n?1)，??????????????????????
?9分 则数列{bn}的前n项和为：
1111111112nTn?b13?b2?b3???bn?2(?????????)?2(1?)?122334nn?1n?1n?1?12分
19．(12
分)在?ABC的三边a,b,c所对的角为A,B,C，已知向量
m?(a,b),n?(coB,s?coAs)，且m?n?c，试判定?ABC的形状。 解：根据已知得acosB?bcosA?c，????????????????????????3分
在?ABC中，由正弦定理，则有：sinAcosB?cosAsinB?sinC，???????????5分
又因A?B?C??，则有：sinAcosB?cosAsinB?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB，?7
分
即cosAsinB?0，????????????????????????????????8分
而在?ABC中sinB?0，所以cosA?0即A??2，??????????????????10
分
?ABC则是以为直角顶点的直角三角A形。?????????????????????12分
20．(12分)如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角600的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知
00AD?6003km,CD?1200km,BC?500km，且?ADC?30,?BCD?113。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：tan370?解：如图，连接AC,CE，在?ACD中由余弦定理，得：
AC234)
?(6003)?120022?2?6003?1200?32?360000，则
北
E A 6003km0AC?60，??????????1分
B
则CD2?AD2?AC2，即?ACD是直角三角形，且0?ACD?60，???????????2分 又?BCD?1130，则?ACB?530，????3分 在?ABC中，由余弦定理，则有：
AB2 500km
C113?6002?5002?2?600?500?35?5002，则
D
30 1200km22AB?500???????????????4分
cosB?a?c?b- 3 - 2ac2a?c??222
又BC?500则?ABC是等腰三角形，且?BAC?530，???????????????6分
由已知有AE?600?分
在?ACE中，由余弦定理，有CE?分
又AC2?AE2?CE2，则?AEC?900。????????????????????9
分
由飞机出发时的方位角为600，则飞机由E地改飞C地的方位角为：
18003660?360，??????????????????????????7
360?600?2?360?600?2235?480??????8
?(900?60)?15000???????????????????????????11
分
答：收到命令时飞机应该沿方位角1500的航向飞行，E地离C地480km。??????12分 21．(12分)在?ABC中，已知tanA ,tanB是关于x的方程x2?(x?1)p?1?0的两个实根。
(1) 求角C；(2)求实数p的取值集合。
解：(1)根据题意，则有tanA?tanB??p,tanAtanB?p?1，
而tan(A?B)?所以A?B??4tanA?tanB1?tanAtanB??p1?(p?1)3?4?1，又A,B是?ABC的内角，
，则C???(A?B)??4。???????????????4分
?4(2)在?ABC中由(1)知A?B?，则A,B?(0,)，即tanA,tanB?(0,1)，??6分
则关于x的方程x2?(p?1)x?1?x2?px?p?1?0在区间(0,1)上有两个实根，?7分
则有：
?02?(p?1)?0?1?0?2?1?(p?1)?1?1?0?，?????????????????????????9?p0???1?2?2????p?4(p?1)?0分
解之得：?2?p?2?22???????????????????????11分
所以实数p的取值集合为(?2,2?22]??????????????????12分
22．(14分)一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角?POQ??3，半径为R?200m，
房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两
种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G,H分别在两条半径上。请你通过计算，为房产商提供决策建议。
O
Q H G D C O
B P A 方案一
P
E 方案二 F Q
- 4 -
解：按方案一：如图，连OC，设?POC?x,x?(0,)，
?4在Rt?OBC中，BC?Rsinx,OB?Rcosx，则DA?Rsinx
Q D O
B A
方案一
C P
在Rt?OAD中，
DAOA?tan?3，得OA?3333DA?33Rsinx，
则AB?OB?OA?R(cosx?y?AB?BC?R(cosx??12R[sin2x?22sinx)，设矩形ABCD的面积为y，则
233sin2x)]x)sinx?R(sinxcosx?33Rsin(2x?2332sinx)2
33(1?cos2x)]??6)?36R由x?(0,)得
3??6??2x??2?6?5?6?6。 时ymax?(33?36)R?2所以当2x??6，即x?36R。??????????5
2分
按方案二：如图作?POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N，连OE。 设?MOE??,??(0,)，在Rt?MOE中，ME?Rsin?,OM?Rcos?
6?O H G Q F 在Rt?ONH中，
NHON2?tan?6，得ON?3NH?3Rsin?，则
3sin?)，设矩形EFGH的面积为S，则
MN?OM?ON?R(cos??N M 方案二 S?2ME?MN?2Rsin?(cos??223sin?)2
3cos2??3)P
E ?R(2sin?cos??23sin?)?R(sin2???2Rsin(2??2?3?3)?3R ?3?2?32由??(0,)，则
6??2??，所以当2???3??2，即???12时Smax?(2?3)R2?10
分
?36?2?3?73?126?0，即ymax?Smax???????????????12分
答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好。???????????????14分
- 5 -
