概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第37页 (共101页)
值为fX(2)?
1. 459.（99，8分）设随机变量X和Y相互独立，下表列出二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 Y X x1 x2 P(Y?yj)?P?j y1 y2 y3 P(X?xj)?Pi? 1 1 8 1 81 62解 首先根据边缘分布公式p?1?表
?pi1求出p11?i?11. 然后再依次求出其他值. 见下24Y X x1 x2 P(Y?yj)?P?j y1 y2 y3 P(X?xj)?Pi? 1 241 81 61 83 81 21 121 41 31 43 41 60.（01，7分）设某班车起点站上客人数X服从参数为?,??0的泊松分布，每位
乘客在中途下车的概率为p，0?p?1，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量(X,Y)的概率分布。
mmn?m解 （1）P(Y?m|X?n)?Cnp(1?p), m?0,1,?n，n?1,2,?
（2）P(X?n,Y?m)?P(X?n)P(Y?m|X?n)??nn!mme???Cnp(1?p)n?m,
n?0,1,2,?，m?0,1,?n.
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第38页 (共101页)
61.（03，4分）二维随机变量(X,Y)的概率分布为
?6x,0?x?y?1, f(x,y)??otherwise,?0,则P(X?Y?1)? 解 P(X?Y?1)?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?0121?xx16xdy?.
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62.（87，6分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为
?1,0?x?1, fX(y)??0,otherwise.??e?y,fY(y)???0,y?0,y?0.
求随机变量Z?2X?Y的概率密度。
解 由于X，Y相互独立，因此它们的联合概率密度为
?e?y,0?x?1,y?0 f(x,y)?fX(x)fY(y)??otherwise?0,随机变量Z的分布函数为
FZ(z)?P(2X?Y?z)?2x?y?z??f(x,y)dxdy
?0,z?0?zz?2x?2???dx?e?ydy,0?z?2
00?1z?2x??0dx?0e?ydy,z?2??0,z?0?z?2???(1?e2x?z)dx,0?z?2
0?12x?z??0(1?e)dx,z?2???0,z?0??z11????e?z,0?z?2 ?222?1?1(e2?1)e?z,z?2?2?随机变量Z的概率密度为
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第39页 (共101页)
??0,z?0??1fZ(z)?FZ?(z)??(1?e?z),0?z?2
?2?1(e2?1)e?z,z?2.??2
63.（89，6分）设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1，标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数。
解 由于独立的正态随机变量X与Y的线性组合仍服从正态分布，于是随机变量 Z?2X?Y?3的概率密度函数为
(z?5)21?18fZ(z)?e.
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64.（91，6分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?2e?(x?2y),x?0,y?0, f(x,y)??0,otherwise,?求随机变量Z?X?2Y的概率密度。 解 F(z)?P(Z?z)?P(X?2Y?z)?当z?0时，F(z)?0. 当z?0时，
x?2y?z??f(x,y)dxdy
zF(z)??dx?0z2?z202e?(x?2y)dy??(e?x?e?z)dx?1?e?z?ze?z.
0所以，随机变量Z?X?2Y的概率密度函数为
?0,z?0 f(z)???z??e,z?0.
65.（92，6分）设随机变量X与Y独立，且X服从正态分布N(?,?2)，而Y服从[??,?]上的均匀分布，试求Z?X?Y的概率密度函数（计算结果用标准正态分布函数?表示，其中?(x)?12??x??e?t22dt）。
解 解法一：先求分布函数FZ(z).
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第二章 第40页 (共101页)
FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z)???dy???x?y?z??fX(x)fY(y)dxdy?z?y??12?1e2???(x??)22?2dx?12??????(z?y??
?)dy因此，Z的概率密度函数为
1fZ(z)?FZ?(z)?2??????1?(z?y???)dy.
其中?是标准正态分布的密度函数. 由于?(x)是偶函数，因此有
?(z?y???)??(y???z?).
1????z?????z(?()??()). 2????(x?y??)?12e2?dy2??2于是
1fZ(z)?2??????1?(y???z?)dy?解法二：直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式.
fZ(z)??1fX(z?y)fY(y)dy????2?2(y???z)?1?12?2?edy2????2??1????z?????z?(?()??()).2???
66.（94，3分）设相互独立随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为
X 0 1 P 1 21 2则随机变量Z?max(X,Y)的分布律为 解 易见Z只取0与1两个可能值，且
1P(Z?0)?P(max(X,Y)?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)?,
43P(Z?1)?1?P(Z?0)?.
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67.（96，6分）设?,?是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量，已知?的分布律为P(??i)?,i?1,2,3，又设X?max(?,?)，Y?min(?,?)。 （1）写出二维随机变量(X,Y)的分布律； （2）求随机变量X的数学期望E(X)。
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