幻方（二） —— 奇数阶幻方的编排方法
在幻方（一）——三阶幻方中我们已经学习了三阶幻方的一般编排方法，但那种方法是比较麻烦的，又不容易掌握。于是，人们在分析研究的基础上，总结了一些简便易学的编排方法。
一、九子排列法
宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。
利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，??等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。
二、罗伯法
请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1；
2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边； 3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）
4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。
重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。 ---------请同学们在事先准备好的方格子中把这种方法练习一遍！----------- 这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：
1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。
罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。
三、巴舍法
下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下：
① 先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）
② 把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；
③ 以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形； ④ 把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。
这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。
需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。
练习 （一定要完成的哦）
1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。
1121311572、用“罗伯法”将、、、、、、、、编成一个三阶幻方。
2334461212123、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。
四、双偶
（1） 先在第一行写1、2、3、4；再在下一行同列依次写5……16如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
（2） 将四个角的数字1、4、13、16和中间四个数6、7、10、11固定不动，将余下的一半数字旋转180° ，就成一个4阶的标准完美幻方 1 15 14 4 7 9 12 6 8 13 再以8阶标准完美幻方为例
10 11 5 3 2 16 可先写一个1--64方阵 ，把 四个角数字和中间固定不动
1 2 9 10 7 8 15 16 19 20 21 22 27 28 29 30 35 36 37 38 43 44 45 46 49 50 57 58 55 56 63 64 再将余下的一半转180°写进空处得8阶的标准完美幻方
1 2 62 61 60 59 7 8 9 10 54 53 52 51 15 16 48 47 19 20 21 22 42 41 40 39 27 28 29 30 34 33 32 31 35 36 37 38 26 25 24 23 43 44 45 46 18 17 49 50 14 13 12 11 55 56 57 58 6 5 4 3 63 64
