习题一
5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；
(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。
解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；
(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.
6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。
解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3
习题二
10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求
(1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；
(4)P(BA)?P(A?B)?P(?)?0, P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; (5)P(AB)?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.
习题三
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知
P(B|A1)?6/10，P(B|A2)?8/14，所以
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?161841???? 21021470147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02
?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
(2) P(B)?解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因而
i?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?
习题四
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因而
i?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。
k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6??????p?1?p?,k?0,1,?,6。
?6??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?, 即 6p?1?p?5?6p5?1?p?, 解得p?；
12?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?26?5?1?15?????。 2!?2?64613. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）X的分布函数。
解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以
???????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1
??解得A?；
（2）P?0?X?1???0e?xdx??0e?xdx?2211111211?e?1； 2??（3）F?x?????f?x?dx
x =
???2e0x1?xdxx?01?xx1?x???2edx??02edxx
x?0
1xx?0???2edx =
01x1x?xedx?ex?0???2?02dx1xx?0e = 2
11?1?e?xx?022??1xx?0e = 2
1?x1?ex?02 习题五
3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。
解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且
8?8168?24?,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025
2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025P?X?0,Y?0??或写成
X\\Y 0 1 0 16 254 251 4 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
8?7288?28?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945
2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945P?X?0,Y?0??或写成
X\\Y 0 1 0 28 458 451 8 451 455. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 在无放回情况下X的边缘分布律为 X 概率 Y的边缘分布律为
Y 概率 0 4 54 51 50 4 51 1 50 4 51 1 51 1 5
