考点五：规律探究问题
例题5：（2012盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=－| a1+1|，a3=－| a2+2|，a4=－| a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（ ）
A．－1005 B．－1006 C．－1007 D．－2012 考点：规律型：数字的变化类．
分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于－（n－1） /2，n是偶数时，结果等于－n /2，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答：a1=0，a2=－| a1+1|=－|0+1|=－1，a3=－| a2+2|=－|－1+2|=－1，
a4=－| a3+3|=－|－1+3|=－2，a5=－| a4+4|=－|－2+4|=－2，…， 所以，n是奇数时，an=－（n－1） /2 ，n是偶数时，an=－n /2 ， a2012=－2012/ 2 =－1006．故选B．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键． 举一反三
1.（2012扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19，…若m分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
解析：观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．
∵2=3+5，3=7+9+11，4=13+15+17+19，…∴m分裂后的第一个数是m（m－1）+1，共有m个奇数，∵45×（45－1）+1=1981，46×（46－1）+1=2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，∴m=45．故选C．
2.（2012烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（ ）
33333333
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，故选C．
3.（2012台湾）如图，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌依顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球：
（1）若前一个箱子丢红球，经过的箱子就丢绿球． （2）若前一个箱子丢绿球，经过的箱子就丢白球． （3）若前一个箱子丢白球，经过的箱子就丢红球．
已知他沿着圆桌走了100圈，求4号箱内有几颗红球？（ ） A．33 B．34 C．99 D．100
解析：根据已知要求得出第1、4、7、…、100圈会在4号箱内丢一颗红球，进而得出通项公式an=a1+（n－1）d，得出答案即可．
第1圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，第2圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，第3圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，第4圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，… 且第1、4、7、…、100圈会在4号箱内丢一颗红球，an= a1+（n－1）d，100=1+3（n－1），
33=n－1，n=34，故选：B．
考点精练
1.（2012杭州）计算（2－3）+（－1）的结果是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：（2－3）+（－1）=－1+（－1）=－2．故选A．
2.（2012吉林）在四个数0，－2，－1，2中，最小的数是（ ）
A．0 B．－2 C．－1 D．2 解析：．如图所示：
∵四个数中－2在最左边，∴－2最小．故选B．
3.（2012北海）“神舟七号”舱门除了有气压外，还有光压，开门最省力也需要用大约568000斤的臂力．用科学记数法表示568000是（ ）
A．568×10 B．56.8×10 C．5.68×10 D．0.568×10
3456
解析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于568000亿有6位，所以可以确定n=6－1=5．568 000=5.68×10．故选C． 4.（2012佳木斯）若（a－1）2+|b－2|=0，则（a－b）
2012n5的值是（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2012
解析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
根据题意得，a－1=0，b－2=0，解得a=1，b=2，
所以，（a－b）
2012=（1－2）
2012=1．故选B．
（n为不小于2的整数），则a4的值为（ ） C．
D．
5.（2012武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=
A．
B．
解析：将将a1=代入an=代入，an=
得到a2的值，将a2的值代入，an=
得到a2=
=，
得到a3的值，将a3的值
得到a4的值．将a1=代入an=
将a2=代入an=得到a3==，将a3=代入an=得到a4=
=．故选A．
6．(2011日照)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在( )
A．第502个正方形的左下角 B．第502个正方形的右下角 C．第503个正方形的左上角 D．第503个正方形的右下角
解析 正方形有四个角，而2011＝502×4＋3，应标在第503个正方形的左上角．答案 C
7.（2012盐城）中国共产党第十八次全国代表大会将于2012年10月15日至18日在北京召开．据统计，
截至2011年底，全国的共产党员人数已超过80300000，这个数据用科学记数法可表示为 解析：将80300000用科学记数法表示为：8.03×10．
8.（2012上海）计算|1/2 －1|=
解析：首先计算出绝对值里面的结果，再根据根据：a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a，可以确定答案．|1 /2 －1|=1－1 /2 =1/ 2 ，故答案为：1/ 2 ．
9.（2012德州）－1，0，0.2，1/7，3中正数一共有 个．
7解析：根据正、负数的定义对各数分析判断即可．－1，0，0.2，1 /7 ，3中正数是0.2，1/ 7 ，3共有3个．故答案为：3．
10.（2012泰州）如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，则点P′表示的数是
解析：设P′表示的数为a，则|a+1|=3，故可得出a的值．设P′表示的数为a，则|a+1|=3，
∵将点P向右移动，∴a＞－1，即a+1＞0，∴a+1=3，解得a=2．故答案为：2． 11.（2012台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－7/6，（－3）⊕5=5⊕（－3）=－4/15，… 你规定的新运算 （用a，b的一个代数式表示）． 解析：由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算a⊕b． 根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=2 /1 +2 /2 ， （－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－7/ 6 =2 /－3 +2/ －4 ，
（－3）⊕5=5⊕（－3）=－4 /15 =2 /－3 +2/ 5 ， 则a⊕b=2 a +2 b =（2a+2b）/ （ab） ．故答案为：（2a+2b）/ （ab）．
12.(2011·常德)先找规律，再填数： 111111111111111
＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝，…… 122342125633078456则
111
＋－__________＝. 201120122011×2012
11212211解析： 依题意，有规律＋－＝，所以当n＋1＝2012时，＝＝.答案 nn＋1n＋1nn＋1?1006n＋120121006111
13.(2011广东)阅读下列材料：1×2＝×(1×2×3－0×1×2)，2×3＝×(2×3×4－1×2×3)，3×4＝×(3×4×5－2×3×4)，
3331
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20.
3读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝_________；
(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝_________________.
11解析：根据阅读获取规律和方法即可解决。(1)原式＝×10×11×12＝440.(2)×n×(n＋1)×(n＋2)．(3)1260.
3314.（2012黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出
1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 S=1+2+3+…+98+99+100 ① S=100+99+98+…+3+2+1 ② ①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= 解析：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n2+2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（舍去）． 故答案为：12．
