目 录
1 引言?????????????????????????????????1 2 文献综述???????????????????????????????1 2.1国内外研究现状????????????????????????????1 2.2国内外研究现状评价??????????????????????????2 2.3 提出问题???????????????????????????????2 3 二项式定理在高考中的考查方向分析???????????????????2 4 二项式定理在高考中的应用???????????????????????3 4.1 高考中二项式问题分类解析???????????????????????3 4.2 二项式定理中蕴含的数学思想方法????????????????????7 4.3 二项式定理在高考求值问题中的应用???????????????????9 5 高考中二项式的处理策略???????????????????????11 5.1 方程化???????????????????????????????11 5.2 二项化???????????????????????????????12 5.3 表格化???????????????????????????????13 5.4 特值化???????????????????????????????14 6 解决二项式定理问题的五种意识????????????????????14 7 结论????????????????????????????????16 7.1 主要发现??????????????????????????????16 7.2 启示????????????????????????????????17 7.3 局限性???????????????????????????????17 7.4 努力方向??????????????????????????????17 参考文献??????????????????????????????18
1 引言
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创．它记载
[1]于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中．在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)
中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同．[2]在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图．但一般却称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果．[3]无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年．1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了其展开式．二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．
二项式定理与杨辉三角是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”. [4]
2 文献综述
2.1国内外研究现状
现查阅到的国内外相关资料[1-18]中，徐利治在文献[1]中探讨了现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究问题. 郑疏信在文献[2]中提出了解决问题的思路，创造性地把问题解决好”.解恩泽、徐本顺、樊恺、戴再平在文献[3-5]中对二项式定理中极具代表性的几种题型进行了分析探讨．张雄、李得虎、戴再平在文献[6-7]中探讨了概率与数列方面的应用，也有文章对二项式定理在数学各领域内的应用进行分析探讨，但所涉及的范围局限性很大，分析讨论不够系统．也有运用二项式定理所涉及的思想对学生进行培养的．胡柄生、任志鸿等在文献[8-9]中强调了近年来新课程的高考试卷中二项式定理的综合问题几乎每年都有, 而且考查的方式也由浅层的交汇向深层的融合发展并做了详细的说明．胡柄生在文献[10]中指出我们在学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华，提高自己的应
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变能力．二项式定理揭示了项数、系数、指数等方面的联系和规律．一般说来，二项式定理问题相对独立，主要有确定展开式中的相关项，求各项系数和差，以及处理整除问题等等．刘俊、华民、陆克毅、张文贵、苏改琴、赵成海、孟涣晨、王彩平、尤利华、郭松柏等在文献[11-18]中讲述了二项式定理的一些“另类”用途，也可以看作是二项式定理应用的丰富和发展，对于提高学生思维的敏捷性和灵活性有一定的促进作用．
2.2国内外研究现状评价
现阶段国内外对于研究二项式定理的综合题型在高考题中所占比重的论述非常多，这些研究者从各个角度对二项式综合题的解法和所占的比重及一些不同的看法做了阐述和研究，并且取得了一定的成功，对于学者和教者对这部分的了解和重视起到了很大的作用，也让学生对这部分的知识有了一定的了解，而不至于再对于此类综合题产生恐惧．在所查阅的文献[1-18]中，学者们虽然各自介绍了二项式的局部交汇，但却没有明确说明二项式定理在高考题目中已经应用,而且根据近几年的高考趋势，在未来的高考数学中二项式定理综合应用问题的比重也将越来越大，并且题型综合性也很符合高中阶段的考查要求．
2.3 提出问题
本文在文献[1-18]的基础上对二项式定理的应用的探讨进行归纳总结，对二项式定理的“另类”用途，二项式定理中的数学思想方法，二项式系数的求和问题，高考中的二项式定理问题分类解析，高考中二项式问题的处理策略进行探讨．充分体现了二项式定理作为工具在解决高考题中的优越性和一般性．
3 二项式定理在高考中的考查方向分析
从近几年的高考试题看：每年的试题相对比较稳定，约占全卷的5%左右，一般是以选择题，填空题为主，解答题考查综合应用为辅，填空题主要考查有关二项式定理的概念、性质、性质应用的简单变形等；[5]解答题考查的主要内容有：结合概率知识对二项式定理进行推广应用， 2010年，二项式定理高考试题难度降低，努力实践着“根植课本，源于教材”的命题原则，体现了“不断发展数学能力”的要求． （1）注重基本运算
二项式定理的基本运算包括二项式系数，求和二大类，高考试题都立足于这些基本运算，其中有关二项式系数的运算是考试的重点，并与概率，数列相关联.
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（2）强调综合运用
以二项式定理为载体，结合概率，数列，现实生活等知识设计试题，是试题的一个命题特色，理科试卷尤为突出．这是基于“在知识网络交汇点设计试题”的命题理念，能使试题达到一定的广度和深度． （3）凸显能力意识
二项式的思想与方法体现了现代数学思想，是衔接初等、高等数学的桥梁之一．为实现在知识网络交汇点处设计试题提供了良好的素材，此类试题已成为近几年数学高考的热点．从解题方法的多样性和选择性，试题背景的新颖性和抽象性等方面立意，着力考查学生的思维能力和数学素养，在二项式试题中也有充分体现． （4）基础知识梳理
二项式定理是概念性比较强、并且容易混淆的内容之一，初学者往往因概念不清而致误．现举例分析如下：
rCn① 二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指 ，它
仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．比如，(x?2)8中x3的二项式系数是C85，而x3的系数为C8525．当然，在某些二项展开式（如a，b的系数为1的单项式）中，各项的系数与二项式系数是相等的．
② 就等式而言，虽然(a?b)n?(b?a)n，但要具体到它们展开式的某一项时，并不一定相同．(a?b)n的二项展开式是以a的降幂排列，以b的升幂排列，而(b?a)n的二项展开式是以的a升幂排列，以b的降幂排列，在解题时一定要注意它们的顺序，不能用加法交换律更改．
4 二项式定理在高考中的应用
4.1 高考中的二项式定理问题分类解析
二项式定理问题相对独立，高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，题型繁多，解法灵活且较难掌握．[6]本文结合近年来的高考试题，将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨，希望能对大家的学习有所帮助．
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