2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)第一试
姓名：_____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
4x21．不等式?2x?9的解集为 ． 2(1?1?2x)2．过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形
23．直线kx?y?2与曲线1?(y?1)?|x|?1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__ _______. 4．复数z，使z3?z?2zab2，则z的所有可能值为 _____ ____．
a?1?bb?1?a?b的正整数对(a,b)的个数为 ．
1?a1?b1?c??? __. 6．设a,b,c为方程x3?k1x?k2?0的根（k1?k2?1），则
1?a1?b1?c5．所有的满足条件a?b?a7．将号码分别为1、2、?、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b. 则使不等式a?2b?10?0成立的事件发生的概率等于 ． 8．已知A, B, C为△ABC三内角, 向量??(cos|AB|二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
n?1n19．对正整数n?2，记an???k?1，求数列{an}中的最大值．
k?1n?k2
C最大时,存在动点M, 使得|MA|,|AB|,|MB|成等差数列, 则A?BA?B,3sin),|?|?2.如果当22|MC|最大值是__ ___.
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10．给定正实数k，圆心为(a，b)的圆至少与抛物线y?kx2有三个公共点，一个是原点(0, 0)，另两个点在直线y?kx?b上，求a，b的值（用k表示）． 11．已知函数f(x)?a(|sinx|?|cosx|)?3sin2x?7,其中a为实数，求所有的数对(a, n)(n∈N*),使得函数y?
f(x)在区间(0,n?)内恰好有2011个零点．
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2011年全国高中数学联赛模拟卷(11)加试
姓名：_____________
一、（本题满分40分）在Rt?ABC中，CD是斜边AB上的高，记I1,I2,I分别是△ADC, △BCD,△ABC的内心，I在AB边上的射影为O1，?CAB,?ABC的角平分线分别交
BC,AC于P,Q，且PQ的连线与CD相交于O2，求证：四边形I1O1I2O2为正方形．
2011模拟卷（11）C
P Q I I2
A I1
D O1 B 第 3 页 共 10页
二、（本题满分40分）给定正数a, b, c, d, 证明：
a3?b3?c3b3?c3?d3c3?d3?a3d3?a3?b3????a2?b2?c2?d2.
b?c?dc?d?a2011模拟卷（11） d?a?b第 4 页 共 10页
a?b?c
