不等式与不等式组经典例题分析
【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于 。
【分析】 要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.
解： 原不等式去分母，得
3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8.
满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.
这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.
【例2】 如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程
的解，那么（ ）.
【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.
解： 关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为 关于x的方程 由题意得【例3】 如果
，解得
的解为.因此选D.
，2+c>2，那么（ ）.
A. a-c>a+c B. c-a>c+a
C. ac>-ac D. 3a>2a
【分析】 已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.
解: 由 所以a<0.
由2+c>2，得c>0，答案：B
【例4】 四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .
【分析】 由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.
解： 设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.
由
解得7 <19， - 1 - 由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51. 由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏． 【例5】解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜＜1． 【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论： 解：（1）当x≤ 时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1， ，故x<-7是原不等式的解； 解得x<-7，结合x≤ （2）当 解得 ＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1， 是原不等式的解； （3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1， 解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解． 综合（1），（2），（3）可知， 是原不等式的解． ?x?3b?2a?【例6】关于x的不等式组?2的解集为?5?x?2，求a、b的值。 a?x?2b??3【分析】解此类不等式，是用构造方程法：先解出不等式组的解集，再根据已知条件列 成方程组，解出结果。 解：解原不等式组的解为2a-3b≤x≤2b-2/3a 由已知条件?5?x?2得方程组2a-3b=-5 2b-2/3a=2 解得：a=-2,b=1/3 ?x?m?1【例7】若不等式?无解，则m的取值范围是 . x?2m-1?【分析】解无解类不等式组，常用反解法： 解：由原不等式组得2m-1 ?5?2x??1如：关于x的不等式组?无解，求a的取值范围 。 ?x?a?0答案：a≥3 - 2 - ?a?1?x?a?2【例8】若不等式组?的解集为3?x?a?2，求a的取值范围。 ?3?x?5解：由题意得：a－1≤3且3 ?x?9?5x?1【例9】不等式组?的解集是x>2，则m的取值范围是 x?m?1?解：解原不等式组得：x>2 x>m+1 由不等式组解集是x>2，根据大大取大的法则得：m+1≦2，解得：m≤1 【例10】不等式组x +9﹥5x+1 x﹤m+1 的解集是x﹤2，则m的取值范围是 解：解原不等式组得：x﹤2 x﹤m+1 由不等式组解集为x﹤2，根据同小取小的法则得：m+1﹥2，所以m﹥1 【例11】不等式组x +9﹤5x+1 x﹤m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是 解：解原不等式组得：x>2 x﹤m+1 由不等式组解集为x>2所以m的范围为空集，无解。 注意：一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大一小 时，取值范围为空集（如例11形式）。 【例12】 如果不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有多少个？请说明理由。 分析解答：把原不等式组化为最简形式，得 由于不等式组有解，解集必为 又由于它的整数解仅为1，2，3，所以 从而 于是，整数a取1～9共9个整数，整数b取25～32共8个整数。 故有序数对（a，b）共有9×8即72对。 - 3 - 【例13】 若不等式组有五个整数解，则a＝_________ 分析解答：把原不等式化为最简形式，得 由于不等式组有解，解集必有 又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－2，－1，0，1 故a的取值范围是 【例14】若不等式组的解集为，则的值为_______。 分析解答：把原不等式组化为最简形式，得 由于 ，所以 于是 解得a＝1，b＝－2 故【例15】已知 ，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围为 。 解：第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k， 根据﹣1＜x﹣y＜0得到：﹣1＜1﹣2k＜0 即 解得＜k＜1 k的取值范围为＜k＜1． 【例16】如果不等式组 的解集是x＞4，则n的取值范围是 。 解：由x+7＜3x+7移项整理得，2x＞0，∴x＞0， ∵不等式组∴n=4， 【例17】若不等式组 有解，则m的取值范围是 。 的解集是x＞4， - 4 - 解：原不等式组可化为和， （1）始终有解集， 则由（2）有解可得m＜2．由（1）、（2）知m＜2 【例18】若关于x的不等式组 的解集为x＞﹣1，则n的值为 。 解：①2n+1＞n+2时，2n+1=﹣1 n=﹣1．将n=﹣1代入不等式2n+1＞n+2中不成立，因此n=﹣1不符合题意． ②2n+1＜n+2时，n+2=﹣1 n=﹣3，经检验符合题意，所以n的值为﹣3 【例19】已知，x满足 ，化简|x﹣2|+|x+5|． 解：由（1）得，x＜2 由（2）得，x＞﹣5 则：|x﹣2|=2﹣x，|x+5|=x+5； 所以|x﹣2|+|x+5|=2﹣x+x+5=7． 分析：解此类题时，先求出不等式组的解集，然后根据x的取值范围来去绝对值． 【例20】北京故宫博物馆内门票是每位60元，20人以上（含20人）的团体票可8折优惠.现在有18名游客买20人的团体票，问比买普通票共便宜多少钱？此外，不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？ 解：18位游客买普通票费用为1080元，买20人的团体票费用为960元. 1080-960＝120元，所以便宜120元. 设不足20人时，x人买20人的团体票比买普通票便宜.由题意可列不等式60×0.8×20＜60x. 解得x＞16，而x＜20，所以x＝17，18，19. - 5 -
