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(X,Y) 连续型 (X,Y) X的边缘分布函数 Y的边缘分布函数 ﹣∞＜x, y＜+∞ F(x,y)???????f(u,v)dudvxy3. F(x, y)对x, y均为右连续； 4. F(x, y)对x和y单调不减； FX(x)为X的分布函数 f(x,y)??F(x,y)?x?y2 ﹣∞＜x, y＜+∞ FX(x)?limF(x,y)y???由F(x,y)可确定FX(x)与FY(y)，反之未必 ?F(x,??)FY(x)?limF(x,y)x??? FY(y)为Y的分布函数 ?F(??,y) （五）大数定律和中心极限定理
名 称 条 件 结 论 备 注 在已知X的均值和方差D(X)X的E(X)、D(X)对任意?＞0，有 契贝晓夫 不等式 均存在有限 P?X?E(X)????或 时，估计X与其均值E(X)的偏差大(小)于?的?2P?X?E(X)????1?D?X?2? 概率 当n足够大时， 1nnk?1设{Xk}为相互独对任意?＞0，有 立且服从同一分切比雪夫 大数定律 布的随机变量序列，又E(Xk)=?, D(Xk)=?(k=1,2,?）均存在有限 设?n～B(n,p); 贝努里 大数定律 （或?n为n重贝努里试验中事件A发生的次数，P(A)=p） 勒维-林德贝格中心极限定理 (独立同分布中心极限定理）
2?Xk?1nlimP??Xn????nk?1k???????0 ?将依概率收敛于其均值μ 即1nnPk?Xk?1?? 对任意ε＞0，有 ??n?limP??p????0n???n?以严格数学形式描述。 “频率的稳定性”。 在试验次数很大时，用事件A的频率作为其概率的近似值 n足够大时，?Xk近似k?1n即A发生的频率?nn?p P设{Xk}为相互独立且服从同一分布的随机变量序列，又E(Xk)=?, D(Xk)=?2(k=1,2,令Yn?nk?1?Xk?n?n?，则 n??limP?Yn?x???(x) 服从N(n?, n?) 2即n很大时，Yn～N(0, 1)(近似) 37
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?）均存在有限 德莫佛-拉普拉设?n～B(n,p); 令Yn??n?npnpq，则 当n很大(n>30)时,有P?a??n?b???(b?npnpq)??(a?npnpq).斯中心极限定理 （或?n为n重贝努里试验中事件(贝努里情形中A发生的次数，心极限定理) P(A)=p） n??limP?Yn?x???(x) 即n很大时，Yn～N(0,1)(近似), 或?n～N(np , npq) (近似)
三、综合例题解析
例1（1991年考研题） 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布。
解：首先，由题设可知，X的可能值为0，1，2，3。现设
Ai = {汽车在第i个路口首次遇到红灯}，i=1，2，3,
则事件A1，A2，A3相互独立，且
P(Ai)?P(Ai)?12 （i = 1，2，3），
12故有 P{X = 0} = P(A1) =
，
122P{X?1}?P(A1)P(A2)?
12123P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?3
P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?所以，X的分布律为
X P 0 1 2 3 12122123123
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注意：利用性质：?pi?1，可检查离散型概率分布律的正确与否。同时，若X
i的某个取值x0的概率较难计算，而其他所有取值的概率已算出时，则也可以利用上述性质得到：
P{X?x0}?1??pi。
i:xi?x0比如本例中：
P{X?3}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?123。
例2 设连续型随机变量X的分布函数为
x??2?F(x)??A?Be, x?0
??0, x?0求：（1）常数A、B；（2）概率密度函数f(x)。 解：（1）由分布函数的性质F(+∞)=1得
F(+∞)= lim(A?Bex????x2)?A?1，
再由分布函数的连续性知其右极限F(0+0)= F(0),即
F(0+0)= lim(A?Bex?0?0?x2)?A?B?0
联立上述两式，解之得：A =1, B =﹣1。
则分布函数为
x??2?F(x)??1?e, x?0
??0, x?0（2）所求密度函数为
?1?x?e2, x?0?f(x)?F(x)??2?0, x?0?。
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例3（1989年考研题）设随机变量?在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程x2 +? x + 1 = 0有实根的概率。
解：易知方程x2 +? x + 1 = 0有实根当且仅当Δ=?2－4≥0，即|?|≥2。故所求问题转化为：已知?～U[1，6]，求P{|?|≥2}。
现因?在[1，6]上服从均匀分布，则?的概率密度为
?1?, 1?x?6, f(x)??5?0, 其他.?方程x2 +ξx + 1 = 0有实根的充要条件是Δ=?2－4≥0，即|?|≥2，故
P{??2}?1?P{??2}?1?P{?2???2} ?1??2?2f(x)dx?1?(?0dx??21?2151dx)?1?15?45。
例4 已知X～N(2, ?2)，P{2＜X＜4}=0.3，求P{X＜0}。 解：由于X～N(2, ?2)，故
P{2?X?4}??(124?2σ)??(2?2σ2)??()??(0)?0.3
σ由于?(0)?，可知
?(2)??(0)?0.3?0.82?,
2)?1?0.8?0.2故 P{X?0}??(0?2?)??(??)?1??(?。
注意：在正态分布的概率计算中，首先要将它标准化，转化为利用标准正态分布的公式求解即可。
例5（1989年考研题）设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1，标准差为
2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z = 2X－Y + 3的概率密度函数。
解：由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X，Y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。
由题设知，X～N（1，2），Y～N（0，1）。则由期望和方差的性质得
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