． 任意角
角的分类 [提出问题]
问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？
提示：旋转方向不同．
问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？
提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°. [导入新知] 角的分类 ．按旋转方向
名称 正角 负角 零角 .按角的终边位置 ()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角； ()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． [化解疑难] ．任意角的概念
认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．
()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．
()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转方向； ②要明确旋转角度的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置． ．象限角的前提条件
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.
定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转形成的角 图形 终边相同的角 [提出问题]
在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.
问题：这三个角的终边位置相同吗？ 提示：相同．
问题：如何用含°的式子表示°和－°？ 提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°. 问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？ 提示：不唯一． [导入新知] 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[化解疑难]
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．
()是整数，这个条件不能漏掉． ()α是任意角．
()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈. ()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．
象限角的判断
[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
()－°；()°；()－°.
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示：
()由图①可知：－°是第四象限角． ()由图②可知：°是第二象限角． ()由图③可知：－°是第三象限角． [类题通法] 象限角的判断方法
()根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
()根据终边相同的角的概念把角转化到°～°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
[活学活用]
在直角坐标系中，作出下列各角，在°～°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
()°；()°；() °；()－°.
解：如图所示，分别作出各角，可以发现：
()°＝°＋°，()°＝°＋×°，因此，在°～°范围内，这两个角均与°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．
() °＝°＋×°，所以在°～°范围内，与 °角终边相同的角是°，所以 °是第三象限角．
()－°＝°－°，所以在°～°范围内，与－°角终边相同的角是°，所以－°是第三象限角．
终边相同的角的表示 [例] ()写出与α＝－ °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－°≤β＜°的元素β写出来．
()分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
()写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解] ()与角α＝－ °终边相同的角的集合为°＋·°，∈)). ∵－°≤β＜°，
∴－°≤－ °＋·°＜°， ∴≤＜， 故＝.
＝时，β＝－ °＋×°＝－°. ＝时，β＝－ °＋×°＝－°. ＝时，β＝－ °＋×°＝°.
()①在°～°范围内，终边在直线＝上的角有两个，即°和°，因此，所有与°角终边相同的角构成集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，而所有与°角终边相同的角构成集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，于是，终边在直线＝上的角的集合为＝∪＝{ββ＝·°，∈}．
②由图形易知，在°～°范围内，终边在直线＝－上的角有两个，即°和°，因此，终边在直线＝－上的角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}．
③终边在直线＝上的角的集合为{ββ＝°＋·°，∈}，结合②知所求角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋(＋)·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}．
()终边落在位置上的角的集合为{αα＝°＋°＋·°，∈}＝{αα＝°＋·°，∈}， 终边落在位置上的角的集合为{ββ＝－°＋·°，∈}，
故阴影部分角的集合可表示为{α－°＋·°≤α≤°＋·°，∈}． [类题通法] ．常用的三个结论
()终边相同的角之间相差°的整数倍． ()终边在同一直线上的角之间相差°的整数倍． ()终边在相互垂直的两直线上的角之间相差°的整数倍． ．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 ()先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
()由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
()用不等式表示区域内的角，组成集合． [活学活用]
