1.2.1 平面的基本性质
教学目标:
(1)初步理解平面的概念;
(2)了解平面的基本性质(公理1—3);
(3)能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系; (4)能运用平面的基本性质解决一些简单的问题.
教学重点:
平面的基本性质.
教学难点:
正确使用图形语言、符号语言表示集合的基本性质.
教学过程:
一、问题情境
作家巴金对飘落的雪花作过这样的描述:“雪片象扯破了的棉絮一样在空中飞舞,没有目的四处飘落??”这段描述与数学有些什么联系呢?我们把天空想象成空间,把雪花所有可能飘到的位置都想成点,这就是点“布满”空间的现实模型.空间中有点,有线,有面.点与直线我们早已熟悉.那么什么是面呢?
二、学生活动
意图:以学生的生活经验和数学知识为出发点,引导学生观察、归纳、抽象出平面的基本特征,使学生对平面的概念有一个较为正确的理解.
问题:现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象?它们的共同特征主要有哪些? (学生通过思考、联想,例举出诸如平静的湖面、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板表面等等)学生归纳出这些表面的共同特征是:平坦的,与厚薄无关.
观察棱柱的表面,圆柱、圆台的底面,都可以抽象出平面.
三.建构数学 1. 平面
(1)和点、直线一样,平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念,它没有厚薄,是无限延展的.
(2)平面也可以看成是一条直线沿某一方向平移得到的(几何画板演示).
(3)直线可以看成是点的集合,所以平面可视为直线的集合,也可视为点的集合. 2.平面的表示 (1) 图形语言
通常用平行四边形来表示平面.(让学生感受从不同的角度画出平面) (2) 符号语言
平面通常用希腊字母?,?,?,?来表示,也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母
来表示,如图,平面?、平面AC等.
3.平面的基本性质
数学实验1:
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面.
(1)若直尺的两个端点在桌面内,问直尺所在直线上各点与桌面所在的平面有何关系? (2)若直尺有一个端点不在桌面内,直尺所在的直线与桌面所在的平面的关系如何? 引导学生归纳出平面的基本性质一:
公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
注意:
(1)公理1说明平面是“平的”,也可以说如果一条直线在平面内,那么这条直线上不会有跳出平面的点.
(2)公理1用符号表示为
A??,B???直线AB??
数学实验2:
(1)把一本书的一角立在桌面上,观察这本书所在的平面与桌面所在平面内有几个公共点.
(2)把教室门以及所在的墙面看成两个平面,当门打开时,它们的公共点分布情况如何? 引导学生归纳出平面的基本性质二:
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
注意:
(1)公理2说明平面是“无限延展的”.两个不重合平面只要有公共点,它们的公共部分就是一条直线,因此两个平面不可能仅有一个公共点. (3) 公理2用符号表示为
P??,P???????l且P?l
数学实验3: 观察思考:
(1)两个合叶和一把锁就可以把门固定,为什么? (2)照相机的支架为什么只需三条腿? 引导学生归纳出平面的基本性质三:
公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 注意:
(1)公理3说明平面是“确定的”,三个不共线的点可以把一个平面确定下来,要强调“不在同一条直线上”与“三点”的作用. (2) “确定”是指“有且只有”.
四、教学运用 1.例题
例1 如图,在长方体A,C1,D下列命题是否正确?并说明理由.
(1)AC1在平面CC1B1B内; (2)由点A,O,C可以确定平面;
AA1DOBABCD?A1BC11D1中,
D1O1B1C1C(3)若O,O1分别为面ABCD,A11C与平面B1BDD1的交线1BC11D1的中心,则平面AAC为OO1;
(4)设直线l?平面AC,直线m?平面D1C, 若l与m相交,则交点一定在直线CD上;
(5)由点A,C1,B1确定的平面与由点A,C1,D确定的平面是同一个平面. 解 (1)错误;(2)错误;(3)正确;(4)正确;(5)正确.
2.练习
教材第23页 练习
五、回顾小结
本节课学习了平面的画法及其表示,平面的基本性质(三个公理)及其简单运用. (1) 平面有哪些基本性质?你是如何理解的?
(2) 用数学符号表示下列语句:“点P在直线a上”, “点P不在平面?内”,“直线a在平面?内”,“直线a与直线b交于点O”.
六、课外作业
教材第28页 习题1.2(1)第3、4、10题.
