第一章 章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．三角形解的个数的确定(易错点)
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
ab
(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理＝，sin Asin B得sin B＝两解．
(2)利用余弦定理讨论： 已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方
bsin A
.若sin B＞1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，a
1
程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系
进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
sin A＝sin B?A＝B；sin (A－B)＝0?A＝B；sin 2A＝sin 2B?Aπ
＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：
2b2＋c2－a2a
sin A＝(R为△ABC外接圆半径)，cos A＝等，通过代数
2R2bc恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．
3.解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例1] △ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.π
已知c＝2，C＝. 3
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；
2
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
[自主解答] (1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面1
积等于3，所以absin C＝3，得ab＝4.
2
?a2＋b2－ab＝4，
联立方程组?
?b＝2a，
解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理已知条件可化为b＝2a，
?a2＋b2－ab＝4，
联立方程组?
?b＝2a，
2343
解得a＝，b＝，
33
123
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
23归纳升华
正、余弦定理应用需注意的三个方面
(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
(3)求值时注意方程思想的运用．
[变式训练] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
3
asin A＋csin C－2asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B. 2
故cos B＝，因此B＝45°.
2
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋6
. 4
sin A
故a＝b×＝1＋3.
sin B
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， sin 60°sin Cc＝b×＝2×＝6. sin Bsin 45°专题二 判断三角形的形状问题
[例2] 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3＋b3－c32
＝c，且acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状．
a＋b－c
a3＋b3－c3
解：由＝c2，
a＋b－c得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3， 所以a2＋b2－ab＝c2，
4
