专题14 3-5
考点1：动量守恒定律及其应用
1．动量：动量概念及其理解
（1）定义：物体的质量及其运动速度的乘积称为该物体的动量，表示为P＝mv （2）动量的单位：在国际单位制中，动量的单位为千克·米/秒（kg·m/s） （3）动量、动能、动量变化量的比较
名称 项目 定义 定义式 矢标性 特点 关联方程 动量 物体的质量和速度的乘积 p＝mv 矢量 状态量 动能 物体由于运动而具有的能量 Ek＝动量的变化量 物体末动量与初动量的矢量差 Δp＝p′－p 矢量 过程量 12mv 2标量 状态量 p2 EK?，p?2mEk 2m1圆周轨道，圆心O在S的正4例题1：如图所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的
上方，在O和P两点各有一质量为m的小物块a和b，从同一时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑．以下说法正确的是（ ）．
A．a比b先到达S，它们在S点的动量不相等 B．a与b同时到达S，它们在S点的动量不相等 C．a比b先到达S，它们在S点的动量相等 D．b比a先到达S，它们在S点的动量相等 答案：A
点拨： a、b两球到达S点时速度方向不同，动量是矢量，要相等要注意大小还有方向，故它们的动量不等，C、D错误．由机械能守恒定律知，a、b两物块经过同一高度时速率相同，但b在竖直方向的分速度vb始终小于同高度时a球的速度va，应有平均速度vb＜va，R
由t＝知，ta＜tb，所以a先到达S点，A正确，B错误．
v
变式1：从塔顶以相同速率抛出A、B、C三小球，A竖直上抛，B平抛，C竖直下抛．另有D球从塔顶起自由下落，四小球质量相同，落到同一水平面上．则（ AD ）
A．落地时动能相同的小球是A、B、C B．落地时动量相同的小球是A、B、C
C．从离开塔顶到落地过程中，动能增量相同的小球只有A、B、C D．从离开塔顶到落地过程中，动量增量相同的小球是B、D 点拨：（1）动量是矢量，质量相同的物体，速率相等，动能相同．但因方向可能不同，故动量可能不相同．（2）本题中，物体只受重力作用，动能增量等于重力所做功，它与轨迹是直线还是曲线无关，计算重力的功只考虑起终点高度差． 2．动量守恒定律
（1）内容：如果一个系统不受外力，或所受合外力的矢量和为零时，这个系统的总动量就保持不变，这就是动量守恒定律
（2）常见的表达式
①p′=p，其中p′、p分别表示系统的末动量和初动量，表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。
②Δp=0，表示系统总动量的增量等于零。
③Δp1=－Δp2，其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、方向相反。 其中①的形式最常见，具体来说有以下几种形式
A．m1vl＋m2v2＝m1v′l＋m2v′2，各个动量必须相对同一个参照物，适用于作用前后都运动的两个物体组成的系统。
B．0= m1vl＋m2v2，适用于原来静止的两个物体组成的系统。
C．m1vl ＋m2v2=（m1＋m2）v，适用于两物体作用后结合在一起或具有共同的速度。 （3）动量守恒定律适用的条件
①不受外力或外力的合力为零．不是系统内每个物体所受的合外力为零，更不能认为系统处于平衡状态．
②近似适用条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力． ③如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则在这一方向上动量守恒． 例题2： (2010年·福建卷)如图所示,一个木箱原来静止在光滑水平面上,木箱内粗糙的底板上放着一个小木块.木箱和小木块都具有一定的质量.现使木箱获得一个向右的初速度v0,则( )
A．小木块和木箱最终都将静止
B．小木块最终将相对木箱静止,二者一起向右运动
C．小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞,而木箱一直向右运动
D．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止,则二者将一起向左运动 答案：B
点拨：正确理解动量守恒定律的适用条件是解答该题的关键，系统不受外力,动量守恒,最终两个物体以相同的速度一起向右运动,B正确.
变式2： 质量mA＝10 g 的子弹，以vA＝300 m/s的速度射向质量mB＝40 g、静止在光滑水平桌面上的木块．
(1)如果子弹留在木块中，木块运动的速度v1是多大？
(2)如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的速度vA′＝100 m/s，这时木块的速度v2又是多大？
解析：(1)根据动量守恒定律得mAvA＝(mA＋mB)v1
解得v1＝60 m/s
(2)根据动量守恒定律得mAvA＝mAvA′＋mBv2
解得v2＝50 m/s
3．动量守恒定律的“四性”
在应用动量守恒定律处理问题时,要注意“四性” ①矢量性：动量守恒定律是一个矢量式，，对于一维的运动情况，应选取统一的正方向，凡与正方向相同的动量为正，相反的为负。若方向未知可设与正方向相同而列方程，由解得的结果的正负判定未知量的方向。
②瞬时性：动量是一个状态量，即瞬时值，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定，列方程m1vl＋m2v2＝m1v′l＋m2v′2时，等号左侧是作用前各物体的动量和，等号右边是作用后各物体的动量和，不同时刻的动量不能相加。
③相对性：由于动量大小与参照系的选取有关，应用动量守恒定律时，应注意各物体的
速度必须是相对于同一惯性参照系的速度，一般以地球为参照系
④普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。 例题3：两个小孩各乘一辆冰车在冰面上滑行,甲和他的冰车总质量为30 kg,乙和他的冰车总质量也为30 kg,滑行时甲推着一个15 kg的箱子以2.0 m/s的速度滑行,乙也以同样的速度,向甲滑行,为了避免相撞,甲把箱子以v的速度推给乙,箱子滑到乙处时,乙迅
速把它抓住,若不计冰面摩擦,问甲至少要以多大的速度把箱子推出才避免和乙 相撞? 点拨： 甲把箱子推出后,甲的运动有三种可能:一是继续向前,方向不变;一是静止;一是方向改变,向后倒退.按题意要求.是确定甲推箱子给乙,避免跟乙相碰的最小速度.上述三种情况中,以第一种情况甲推出箱子的速度最小,第二、第三种情况则需要以更大的速度推出箱子才能实现.
甲推出箱子和乙抓住箱子是两个动量守恒的过程,可运用动量守恒求解. 以甲和箱子组成的系统为研究对象,水平方向动量守恒,选甲运动方向为正,
根据动量守恒列方程(M?m)v0?Mv甲?mv′
以箱子和乙组成的系统为研究对象,有mv??Mv0?(M?m)v 因甲、乙与箱子的总动量方向向右,若甲、乙不相碰,必有v甲?v乙
由①②③式联立,解得:v′?5.2 m/s.
变式3：一炮舰总质量为M，以速度v0匀速行驶，从舰上以相对海岸的速度v沿前进的方向射出一质量为m的炮弹，发射炮弹后艇的速度为v′，若不计水的阻力，则下列各关系式中正确的是__①__．(填写项前的编号)
①Mv0＝(M－m)v′＋mv
②Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0) ③Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′) ④Mv0＝Mv′＋mv
解析：由题意知炮弹发射前后，系统动量守恒
Mv0＝mv＋(M－m)v′，即①正确．
考点2：碰撞和反冲 1．碰撞：
（1）碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题．按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况． （2）分类
①弹性碰撞：碰撞过程系统机械能(即总动能)守恒．动量守恒．满足以下关系式：mv＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2??11
?12121 122
mv＋mv＝mv′＋mv′.??211222211222
②非弹性碰撞：碰撞过程系统的机械能(即总动能)不守恒，但系统的动量守恒．如果碰撞后两物体结合为一体，机械能损失最多，称为完全非弹性碰撞．满足以下关系式：
mv＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2??11
?1212121 2
mv＋mv>mv′＋mv′.??211222211222
（3）提醒：在碰撞的一般情况下系统动能都不会增加（有其他形式的能转化为机械能的除
外，如爆炸过程），这也常是判断一些结论是否成立的依据． 例题4： (2009·全国Ⅰ)质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正碰，碰撞后两者的动量正好相等．两者质量之比M/m可能为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
答案：AB
点拨：设碰撞后两者的动量都为P，根据动量守恒和能量守恒得,总动量为2P,根据
4P2p2P2M得??P?2mEK,以及能量的关系得?3,所以AB正确.
2M2m2Mm2拓展：(1)对于碰撞问题，应重点掌握弹性碰撞．对于一个运动物体与静止物体发生弹性m－mv′＝??m＋mv碰撞后的速度关系应熟记．即?2m
v′＝??m＋mv.
11
22
1
1
2
11
21
①若m1＝m2，则v′1＝0，v′2＝v1(速度交换)．
②若m1＞＞m2，则v′1＝v1，v′2＝2v1. ③若m1＜＜m2，则v′1＝－v1，v′2＝0.
(2)在处理碰撞问题时，通常要抓住三个基本原则：①碰撞过程中动量守恒原则；②碰撞后系统总动能不增加原则；③碰撞后状态的合理性原则．碰撞过程的发生必须符合客观实际．
合理性原则包括：①若碰撞前两物体同向运动，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v′前≥v′后．
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变． 变式4：如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O。让球aO b 静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平。从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求
（i）两球a、b的质量之比； a （ii）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。
答案：（i）2?1 （ii）1?2 2解析：（i）设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点、但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得 m2gL?1m2v2 2 式中g是重力加速度的大小。设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度
为v?，以向左为正。由动量守恒定律得
m2v?(m1?m2)v?
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定
律得
1(m1?m2)v?2?(m1?m2)gL(1?cos?) 2m1 联立得 1??1
m21?cos?
