00??1分，由例1、例2分析知其对应面积分别表示为?f(x)dx?lim???1?1?0?1f(x)dx＋
0?1??101f(x)dx?lim???2?010??2f(x)dx。所求面积可形式上表示为?f(x)dx＝?f(x)dx＋
?1110f(x)dx，故所求面积为?f(x)dx＝lim???10??1?1?0?1f(x)dx＋lim???2?010??2f(x)dx。
解：设函数f(x)= S，
1下方、x=-1右方、x=1左方、 x轴上方的区域面积为x2 S??f(x)dx??f(x)dx
?1001 ?2?f(x)dx
01 ?2?101dx x21 ?2lim?b?0b1dx x21 ?2lim(?)1b b?0x 求得S为??，即所求面积为??。
例4 求曲线f(x)=tanx(0 ???)、x=左侧、x轴上方，x?右侧的 422 y 0 ??x=a 2 4x 分析：所求面积区域如图所示。所给区域不闭合，则不能用定积分直接求其 ????面积，在x?与x?之间作一条垂直于x轴的直线x?a（?a?）。 4224解：令由f(x)=tanx与x= ??，x轴，x=，y轴所围成的图形面积为S， 24? S= ??2f(x)d(x) 4 = lim??f(x)d(x) a?a?24 = lim??tanxd(x) a?a?24 = lim?lncosx?a?2a?4 = lim(?lncosa) ?a?2 求得S为??，即所求面积为??。 注：?tanxd(x)??abbasinxdx，因此?sinxdx?dcosx，所以设u?cosx，cosx那么 du??sinxdx 即?du?sinxdx，因此 ? batanxd(x)??babdusinxdx?????lnu??lncosx aucosx四、列举实例对两种广义积分的几何应用进行说明 例1 求曲线f(x)?e?2x下方，x??3右方、x轴上方的区域的面积。 y x?a -3 0 x 解：令曲线f(x)?e?2x下方，x??3右方、x轴上方的区域的面积为S， 则 S=????3f(x)dx =?e?2xdx ?3??1 =lim(?e?2xa???2a?3) 11 =lim(?e?2a?e6) a???221 =e6 2例2 求曲线f(x)?积。 1下方、左方x?2、 x轴上方、y轴右方的区域的面3xy x?a x 0 3 解：令曲线f(x)?面积为S，则 S??f(x)dx a21下方、左方x?2、 x轴上方、y轴右方的区域的3x ??2a1dx 3x2 ?lim?a?0a1dx x312) ?lim(?x?2aa?02 ?lim(?a?011?2a?x) 162
