广义积分概念引入的几何背景分析
宋榕荣
[摘要] 我们在研究定积分时都有直观的几何意义，定积分的被积函数的区间为有限区间，函数为该区间上的有界函数。当我们去掉这两个限制时，就得到广义积分，我们就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景。
[关键字] 定积分 广义积分 几何背景
一、广义积分与定积分之间的区别和联系
（1）形式上：定积分的区间是有限区间，即上下限都是有限实数，且定积分的被积函数是有界函数，而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界。 （2）内容上：定积分的被积函数是有界连续函数。
无穷区间[ a,??）的广义积分?在，则广义积分
??a若if(x)dx?lim?f(x)dx，mlb???abb????(f)xdxab存
???af(x)dx收敛，否则发散。类似的有在定义在（??,b]上的广义
积分的收敛发散性。同时还有定义在（??,??）上的广义积分的收敛性。
二、无穷区间上的广义积分的几何背景
无穷区间上的广义积分也就是被积函数的定义域无上限或无下限，这类的广义积分在形式上可分为三种，我们用三个例子来加以说明：
例1 求曲线f(x)=
1 的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域面积。 x2
y x = a O 1 x
分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=1的右侧做一条垂直于x轴的直线x=a(a>1),则
1曲线f(x)= 2、x=1、x=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示），其面
x积用定积分表示为?f(x)dx。要求其面积的不封闭区域可想象成右边界在无穷
1a远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界x=a沿x轴正方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比?f(x)dx到?1a??1f(x)dx，而其
实质为lima???1?af(x)dx（b???对应于阴影部分曲边梯形的右边界x=a向右平移
??1至无穷远处）。故所求面积为?解：设曲线f(x)= A，则
A= ?f(x)dx
1af(x)dx=lima???1?af(x)dx。
1 的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为x2=lim????1?1??f(x)d(x)dx
= lim?
aa??11dx 2x
= lim (?a??1)xa1
= lim(1?a??1) a = 1 所以曲线f(x)=
例2 求曲线f(x)=
1 的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积。 x21 的下方、x=1的右方、x轴上方的平面区域的面积为1。 x2y x = a -1 0 x
分析：所求面积的区域如图所示。由于区域是不封闭的，故不可用定积分直接求其面积。但所给区域是确定的（即坐标面上任何一点在该区域的内部、外部或边界上是明确的）。在x=-1的左侧做一条垂直于x轴的直线x=a(a<-1),
1则曲线f(x)= 2、x=-1、x=a、x轴围成一个曲边梯形（阴影部分所示），其
x面积用定积分表示为?f(x)dx。要求其面积的不封闭区域可想象成左边界在无
a?1穷远处的曲边梯形。该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界x=a沿x轴负方向无穷远处平移得到，故其面积可从形式上类比?f(x)dx到?a?1?1??f(x)dx，而
其实质为lima???a???f(x)dx（a???对应于阴影部分曲边梯形的右边界x=a向左
?1a平移至无穷远处）。故所求面积为?f(x)dx=lim解：设曲线f(x)= 为A，
A= lim?f(x)dx
b??b?1a???a???f(x)dx。
1 的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积2x = lim??1b??b1dx x21)x?1b = lim (?b??
1 = lim(1?)
b??b =1 则曲线f(x)=
1 的下方、x=-1的左方、x轴上方的平面区域的面积为1 x21
下方、x轴上方的平面区域的面积。 1?x2
例3求曲线f(x)=
y y=a 0 x=c z=b x
分析：所求区域的面积如图所示。由于区域不是闭合区域，故无法用定积分直接表示其面积。任作一条垂直于x轴的直线x=c，则区域被分成左、右两个部分。根据例1、例2的方法，分别在x=c左、右作垂直于x轴的直线x=a与x=b，
