本 科 生 毕 业 论 文（设 计）
( 2011 届)
论文（设计）题目: 计算机一级课程中介绍的不同进制数
转换方法之数学原理
学 院：数学科学学院 专 业：数学与应用数学 学 号：200710700098 姓 名： 穆轶辰
指导教师姓名及职称：林庆南副教授
2011年4月
目 录
一、摘要······························································2 二、关键字····························································2 三、正文······························································2 1、二进制、八进制、十六进制转化为十进制·····························2 1.1、二进制转化为十进制的一般方法···································2 1.2、按基值重复相加法···············································3 1.3、八进制、十六进制转化为十进制···································3 2、十进制转化为二进制、八进制、十六进制·····························3 2.1、十进制转化为二进制的方法·······································3 2.2、十进制转化为八进制、十六进制···································6 3、二进制、八进制、十六进制之间的转换·······························6 3.1、二进制与八进制之间的转换·······································7 3.2、二进制与十六进制之间的转换·····································8 3.3、八进制与十六进制之间的转换·····································8 四、参考文献·························································10 五、英文说明·························································10
1
计算机一级课程中介绍的不同进制数转换方法之数学原理
专业：数学与应用数学 学号：200710700098 学生姓名：穆轶辰 指导老师姓名：林庆南 内容摘要
本文介绍了各种进制之间的各种转换方法，并通过不同进制之间转换的计算逐步推导，逐步揭示其数学原理。本文旨在研究数制转换的数学原理，但又能从基本原理中找到新的思路，新的方法，使数制转换更加快捷方便，简洁易懂。
关键字
方幂和；进制转换；取余法；按权展开法；减权定位法 正文
众所周知，在这个科技发展日新月异的时代，计算机已经成为一个人们大众化的必不可少的工具，而计算机工作原理是建立在二进制数计算的基础之上，而人们日常计数是采用十进制计算，这就带来了一些问题，二进制与十进制之间如何转换？后来又发展出了8进制，16进制数，各类进制数之间的转换也有相应的方法，笔者就进制转换的问题展开，探究进制转换原理，并在此基础上开拓新的思路，将进制转换的问题作进一步阐释。
在介绍进制转换方法前，首先要介绍一个概念。方幂和,第一个概念是幂，幂：（power）指乘方运算的结果。nm指将n自乘m次的结果。叫做n的m次幂。方幂和即由n的不同次幂
··?a1n?a0表示为n的一个方幂和，其中a0,a1,?,am相加，例如：amnm?am?1nm?1?·为小于n的常数。在后面的文中会常用到此概念，故在此引入。
1.二进制，八进制，十六进制转换为十进制的一般方法。
1.1二进制转换为十进制的一般方法。我们知道任意十进制数我们可以将其表示成10的一个方幂和，例如：976?9?102?7?101?6?100。反过来我们将此方幂和按十进制相加就得 （10110）（10110）到976。对于一个二进制数，例如：2，我们将其表示成2的方幂和，即2，如果按十进（10110）?1?24?0?23?1?22?1?21?0?20，如果按二进制相加，其结果仍旧为2制相加，就得到一个十进制数16+4+2=22.此种方法又被称为“按权展开法”[2]。类似的，二进制的小数也可以按照此方法进行转换，例：
(11011.1)2?1?24?1?23?0?22?1?21?1?20?1?2?1=27.5.
2
1.2按基值重复相加法[1]:整数部分采用基值重复相乘法，例：
(101001)2?((((1?2?0)?2?1)?2?0)?2?0)?2?1?41，小数部分采用基值重复相除： (0.1011)2?((((1?2?1)?2?0)?2?1)?2?0?0.6875，我们来分析基值重复相乘法的原理，最高位乘2后加第二位，再乘2后加第三位，以此类推。我们将其展开得到
((((1?2?0)?2?1)?2?0)?2?0)?2?1=1?25?0?24?1?23?0?22?0?21?1?20，而基值重复
相除我们也类似展开得到：0?1?2?1?0?2?2?1?2?3?1?2?4，即无论是基值相乘还是基值相除，其原理依旧是按权展开法。
1.3八进制，十六进制转换为十进制。其方法与二进制转化为十进制方法一样，分别将其表示成8或16的方幂和，然后按十进制相加。各举一个例子：
(1340)8?(1?83?3?82?4?81?0?80)10?736，
(3A4F)16?(3?163?10?162?4?161?15?160)10?14927。
总结，将任意n进制数（n?10）转换成十进制数。其方法是将该数表示成n的方幂和，然后按十进制相加就得到所要转换的十进制数。
2.十进制数转化为二进制、八进制、十六进制的方法
2.1.十进制转化为二进制的方法。通常采用取余法[1]，即将十进制数连续除以2取其余数，直至余数小于2为止。例如将123转换为二进制数。 重复除以2 得商 取余数
123÷2 61 1 最低位 61÷2 30 1 30÷2 15 0 15÷2 7 1 7÷2 3 1 3÷2 1 1
1÷2 0 1 最高位 由此，(123)10?(1111011)2，我们还原一下重复相除的过程即：
(1?1?2)?2?1)?2?1)?2?0)?2?1)?2?1?1?26?1?25?1?24?0?23?1?22?1?21?1?20。显而易见，取余法实质就是按权展开法的逆运算。而为什么第一次除得的余数为最低位，而最
3
