考试吧特整理“2010硕士研究生入学考试数学一模拟试卷及答案解析一”，以供学员备考使用。
2010全国硕士研究生入学统一考试数学一
模拟试卷(一)
一．选择题 1．若f(x)?5?x?10则?f(3x?1)dx，
1?1f(3x?52 )dx? （ ）
（Ａ）－3； （B）－6； （C）－18； （D）－108 ． 2．已知微分方程y??f(x,y)的通解为y?g(x,C)，则微分方程y??f(2x,2y)的通解为 （ ） （Ａ）y?2g(2x,C)； （Ｂ）y?2g(,C)；
2x（Ｃ）y?12g(2x,C)； （Ｄ）y?12g(x2,C)．
3．设函数P(x,y),Q(x,y)有一阶连续偏导数，则?Q(x,y)dx?P(x,y)dy与
L路径无关的充要条件是 （ ） ?P?Q?P?Q?P?Q?P?Q（A）； （B）； （C）? （D）? ???0；?0 ．
?x?y?y?x?x?y?y?x4．??(?exyz)＝ （ ） （注意：这里使用的是一种规范的记号，?，?? 和??分别等同于多数教材上曾经使用过的习惯记号grad ，div和rot ）
（Ａ）０； （Ｂ）0； （Ｃ）exyz(x?y?z)； （Ｄ）exyz?x,y,z?． 5．设A是n阶方阵，已知线性齐次方程组AX?0有非零解，则线性非齐次方程组AX?b （ ） （A）必有无穷多个解； （B）必无解； （C）对于某些b，解可能是唯一的； （D）以上结论都不对。 6．对于给定的两个向量组（I）?1,?2,?,?m，m?2；
（II）?1,?2,?,?m,?m?1,?,?m?n，n?1．必有 （ ） （Ａ）（I）线性无关?（II）线性相关； （Ｂ）（II）线性无关?（I）线性无关； （Ｃ）（I）线性相关?（II）线性无关； （Ｄ）（II）线性相关?（I）线性相关． 7．从6个英文字母DDGGOO中任意取出四个，并任意进行排列，则恰好能排
T??成英文单词GOOD的概率p? （ ）
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（A）
1360； （B）
1180； （C）
145； （D）
415．
8．下面4个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是 （ ） （A）X~N(5,12)；
（B）Y~U(5,7)，即区间(5,7)上的均匀分布； z?0,?0,?（C）Z服从指数分布f(z)??1?1z
6,z?0；?e?6t?0,??0,（D）T服从指数分布f(t)??
?3t?,t?0．?3e二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）： 9．???lnxdxx21?______。
10．设函数f(x)满足条件f(0)?10，且其二阶导数f??(x)在区间[0,?]上连续，并有?[f??(x)?4f(x)]sin2xdx?8，则f(?)?______________．
0?211．设函数z?z(x,y)由方程ex?2y?z?1?xy3z所确定，则dz(0,1)?______．
?12．已知幂级数?n?0(?1)n3n?(2n)!(x?1)2n?1在收敛域(??,??)上的和函数为
S(x)，则S(5)(1)?___________．
13．已知n阶(n?3)行列式A?a，将A中的每一列减去其余各列之和得到新的行列式记为B，则B?____________．
14．设A、B、C是两两独立的且不可能同时发生的随机事件，若
P(A)?P(B)?P(C)?p，则当p?______时，P(A?B?C)可取得最大值．
三．解答题
15．匀速向侧壁为旋转抛物面的容器内注水，试证明液面升高的速度与液面的高度成反比．
16．计算二重积分??1?cos(x?y)dxdy，其中D由直线
Dy?0，y?x，x??围成．
17．某城市的海港港口与火车站位于该城市市中心的东西两端，相距d。现拟在城南修建一
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座机场，为避免噪音影响，要求机场位置离市中心的距离不小于
d2公里，按计划，机场到
海港要修建直线铁路，造价每公里c1万元，机场到火车站要修建直线高速公路，造价为每公里c2万元。问铁路与高速公路的设计长度各为多少公里时，可使总造价最低？求出最低价。
18．若将函数f(x)?xn?x的极大值点记为an(n?2,3,4,?)，试求幂级数
??an?2nnx的收敛域．
??19．计算I???grad(S22yz?zx?xy?x?y?z)?dS，其中
S为z?R?x?y2(R?0)的上侧．
20．设B是n?n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
（1）r(BTAB)?r(B)；（2）BTAB正定的充要条件是B可逆．
21．已知3?3矩阵A与3维列向量x可使向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x?3Ax?2A2x．记X?(x,Ax,A2x)． （1）求3?3矩阵B，使A?XBX?1；（2）计算行列式A?E．
?(x?x222．设随机变量X的概率密度函数为f(x)?ke2)．（1）试确定k值；
（2）设Y?aX?b，试确定a,b的值，使Y成为标准化随机变量，即
E(Y)?0,D(Y)?1；
（3）写出Y的概率密度函数fY(y)． 23．已知X,Y服从相同的分布X~?P(X?Y)?0 ．
??1?0.2500.51??，若 0.25?（1）求出(X,Y)的联合分布律； （2）求出X,Y的相关系数； （3）讨论X,Y的相关性和独立性．
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2010数学一模拟试卷（一）答案解析
一、选择题：
1、C； 2、C； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、C； 8、B 二、 填空题： 9．1； 10、6； 11、?dx?2dy； 12、4； 13、(2?n)2n?1a； 14、0.5. 三、解答题： 16．解：
??D1?cos(x?y)dxdy????yy2??|cosDx?y2?|dxdy?x?y22[??cosD1x?y2dxdy???D2cosx?y2dxdy]
?2?2dy?0cosx?y2dx?2??dx?2???xcosdy?22(??2).17．解：设铁路设计长度为x公里，高速公路设计长度为y公里。按题意，机场位置必须位于以港口与火车站连线为直径的圆弧上。本题即为如下的最小值问题： 目标函数为 u(x,y)?(c1x?c2y)，约束条件为x2?y2?d2。 令F?(c1x?c2y)??(x2?y2?d2)，由
?F??c?2?x?0x1??x??Fy??c2?2?y?0?222?F???x?y?d?0c1dc?c2122,y?c2dc?c2122，由问题的实际意义知，最低造
价为u(x,y)?18．解：
c1d?c2dc1?c22222?c1?c2d。
22?x令f?(x)?(1?xlnn)n?0,得x?1lnn1lnnan?1an?.)?(?lnn)n?1lnnf??(x)?(xln?2n?2lnn)nx,an?(?1)lnnnn?x,?f??(,?lim?0,?唯一驻点x?R?1.1lnn为最大值点.对级数?n?21lnn?1lnnn???1,?收敛半径为1lnn当x??1时,?n?2收敛,当x?1时,?n?2发散,故级数的收敛域为[?1,1).19。解：?grade(yz?zx?xy?x?y?z)?{y?z?1,z?x?1,x?y?1},?I???(y?z?1)dydzS2?(z?x?1)dzdx?(x?y?1)dxdy.2取S1:z?0(x?y2?R)下侧,??{(x,y,z)|0?z?R2?x2?y},S在xoy上投影为D,则22I???S?S1???S1?????[?(y?z?1)?x??(x?z?1)?y??(x?y?1)?z]dv???D(x?y?1)dxdy??R.
