票的欧式看涨期权的执行价格为21元，3个月连续复利无风险利率为12%，如何对上述期权的现金流进行复制？
1份期权多头=0.25只股票+4.367元借款
0.25只股票+1份期权空头=4.367元贷款（无风险投资）
2. 期权定价的概念：期权定价是围绕着期权的买方为了获得权利（而不是义务）应该向期权的卖方事先支付多少费用而展开的。也可以理解为权利的价值或者期权的价值。 3. 利用二叉树模型计算期权价格（一步）
【例】假设一只股票当前价格为20元，3个月后的价格可能为22元或18元，我们对3个月后以21元执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。
思路1：未来现金流折现
? 用期权在到期日时的价值进行贴现→不知道到期日两种情形的概率分布，也不知道
贴现率。 思路2：复制的思想（积木分析法）
? 用其他资产组合复制期权的现金流，通过计算资产组合的价值计算期权的价值 解：考虑一个由x只股票的长头寸和一份看涨期权短头寸构成的交易组合。
? 当股票价格由20变为22时，证券组合的整体价值为22 x-1；当股票价格由20变为
18时，组合价值为18 x。
? 让组合在以上两种情形相等时，该组合不具有任何风险，这意味着：
22 x-1=18 x 即： x=0.25
无风险交易组合为：
多头：0.25只股票 空头：1份期权
? 无论股票价格上涨到22元还是下跌到18元，组合的价格相等（为4.5元）。
? 在无套利的情况下，无风险证券组合的收益率必定为无风险收益率，假设无风险收
益率为每年12%，所以组合的现值一定是4.5元的现值，即：
? 于是：
20?0.25?f?4.367
f?0.633
【结论的一般化】考虑一个价格为S0的股票，基本该股票的某个期权当前价格为f，期权到期日为T，在期权到期日，股票价格或者向上运动到S0u（u>1），或者向下运动到S0d（d<1），
4.5e?0.12?3/12?4.367对应的期权价值为fu和fd，求期权在期权的价值。
f?e?rT[pfu?(1?p)fd]其中，
u?d4. 几何布朗运动的描述形式，几何布朗运动的性质 （1）描述：
若一个随机过程Z（t）满足：
? Z是独立增量过程
2) ? z) ? 对于任意S ，t ， z ( s ? t ( s ) ~ N ( 0 , c t
? z (t ) 是关于t的连续函数 则称Z（t）为维纳过程
? 这个过程在物理学中描述某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，因此被称为布朗运
动（Brownian Motion）。
（2）几何布朗运动的性质
性质1：变量△z与小时间区间△t之间满足： ?z??其中， ? ~ N ( 0 ,1 )
?tp?erT?d性质2：对于任何两个不同的时间间隔△z、△t相互之间独立。（马尔科夫性质）
) ?考虑以一段相对较长的时间段T内变量Z的变化： Z ( T Z ( 0 ) ，将这一变化看成N个长度为△t的小时间段内变量Z的变化总和，即：
因此：
极限形式的表达：
N?T?tNZ(T)?Z(0)???i?1i?t?z?dz
（3） 股票价格运动过程的描述
假设1：期望收益率（即期望漂移率除以股票价格）为常数。因此有：
dS?S?dt
假设2：在一个较短的时间△t后，股票价格的百分比收益的波动率为常数：（几何布朗运动）
【例】考虑某无股息股票，其波动率为每年30%，连续复利预期收益率为15%，μ=0.15，?=0.30，股票价格过程为：
?t?dtdS??Sdt??Sdz
用增量表示即为：
dSS?0.15dt?0.30dz?S ?0.15?t?0.30?S
【例】假设股票价格遵循几何布朗运动，即：
?t
dS??Sdt??Sdz求lnS服从的分布？（lnS是股票的连续复利收益率） 解：如果股票价格服从几何布朗运动，则有：
也就是说：
dG?dlnS?(???22)dt??dz
【例】几何布朗运动下股票价格的概率分布
2?????lnST?lnS~??????2??T?t?,?????T?t??设A股票的当前价格为50元，预期收益率为每年18%，波动率为每年20%，假设该股票价格遵循几何布朗运动且股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布如何？
5. 伊藤引理解决的是什么问题？
伊藤过程是一种更为广义的维纳过程：
dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz其中，a，b 均为变量x和时间t的函数。
为解释布朗运动等伴随偶然性的自然现象而提出，成为随机分析这个数学新分支的基础
定理，表明了任何一种金融衍生品的价格都是标的资产价格和时间的函数。 6. 期权定价偏微分方程等价关系的实质？
?G?t?rS?G?S?12?S22?G?S22?rG四、 期权的运用与交易策略
1. 期权交易头寸有哪些应用？用期权进行投资有哪些特征？
（1）交易头寸的应用
? 运用期权进行静态套期保值：静态套期保值指一次交易之后直至到期都不再调整的
套期保值交易。具体而言，通过买入看涨期权多头保护标的资产价格上升的风险，或是通过买入看跌期权多头保护标的资产价格下跌的风险。
【例】假设投资者A手中持有GE股票，且非常看好，但发生在2007年中的美国次级房贷危机使得市场具有较大的不确定性，A认为这次危机可能波及股票市场，GE股价会受到冲击。A既不想放弃未来GE股票可能带来的收益，同时又担心市场可能的剧烈波动会导致股价下挫，A将如何进行选择？
假设A决定购入在CBOE交易的GE看跌期权，其价格为1.76美元，到期日为2007年9月22日，执行价格为40美元，GE股票价格为38.5美元。
如果GE股票确实受到市场冲击下跌，A执行期权获得最低回报为40美元，如果GE股票一路走高，A不执行期权，只是成本比原先购入价上升了1.76美元。
? 运用期权进行杠杆投资
【例】美国中部时间2007年9月14日收盘时，GE股票价格为40.35元，GE看涨期权收盘价格为0.67美元，其到期日为2007年9月22日，执行价格为40美元。假设投资者B准备了以下两种投资途径：
1、直接以40.35美元买入1000股GE股票，总成本40350美元
2、以0.67美元买入602份GE股票看涨期权（每份期权拥有购入100股GE股票的权利），总成本40334美元。
假设2007年9月22日GE股票价格涨至45美元（或跌至35美元），比较两种投资途径的结果？ 1、股票投资：
2、期权投资：
45?1000?40.35?100040.35?1000?100%?11.5E?60200?40?602000.67?60200
（2）用期权投资的特征：
?746.3%
2. 能够画出指定交易策略的损益图 （1） 单一期权与股票的策略
? 保护性看涨期权
? 保护性看跌期权
（2） 差价策略：将具有相同类型的两个或多个期权组合在一起的交易策略。
? 牛市差价（bull spread）：买入一个具有某一确定执行价格的股票看涨期权和卖出一
个同一股票的，但具较高执行价格的股票看涨期权组合而成，两个期权的期限相同。
