第五讲 黎曼积分（正常积分）
§4.1 定积分
一、知识结构
定积分概念产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 定积分?f(x)dx的概念
ab首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,其次，用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.
定积分?f(x)dx的定义
ab定义1(a?b) 函数f(x)在闭区间[a,b]有定义，划分
T??a?x0?x1???xn?b????1,?2,?,?n?把闭区间[a,b]划分成n个小区间?1,?2,?,?n，其中?i?[xi?1,xi]，?xi?xi?xi?1，
T?max??xi?(分割T的细度)，?i??i,若极限lim1?i?nnT?0i?1?f(?i)?xi存在且
n为J，我们称极限limT?0i?1?f(?i)?xi?J为函数f(x)在闭区间[a,b]上定
积分（Riemann积分），记作?f(x)dx?limabnT?0i?1?f(?i)?xi.
定义
1′(a?b) 函数f(x)在闭区间[b,a]有定义，划分
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T??a?x0?x1???xn?b????1,?2,?,?n?把闭区间[b,a]划分成n个小区间?1,?2,?,?n，其中?i?[xi?1,xi]，?xi?xi?xi?1，
T?max??x?(分割Tin1?i?n的细度)，?i??i,若极限limT?0i?1?f(?i)?xi存在且
n为J，我们称极限limT?0i?1?f(?i)?xi?J为函数f(x)在闭区间[b,a]上定
积分（Riemann积分），记作?f(x)dx?limabnT?0i?1?f(?i)?xi.
定义1〞(微元法的定义) 函数f(x)在闭区间[a,b]有定义，在(a,b)上任取一点x，按积分下限到积分上限的方向给点x一个增量dx，dx的绝对值是要多么小有多么小的正数，用f(x)dx表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号?f(x)dx表示把闭区间[a,b]上小曲边梯形
ab的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果?f(x)dx的值存在，我
ab们称?f(x)dx为函数f(x)在闭区间[a,b]上定积分（Riemann积分）.
ab由上述两个定义可以看出(1)dx?lim?xi; (2)?aT?0bn?limT?0i?1?;(3)
f(x)?limf(?i).
T?0 由定义知:①dx表示函数定义域（x轴上的区域）上点x处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当
a?b时,dx?0,当a?b时,dx?0;③
?baf(x)dx表示
y?f(x),x?a,x?b所围成的曲边梯形的面积(a?b,f(x)?0或a?b,f(x)?0)或面积的相反数(a?b,f(x)?0或a?b,f(x)?0)；
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④函数f(x)在闭区间[a,b]上连续或有有限个间断点，则极限
nlimT?0i?1?f(?i)?xi存在，即函数f(x)在闭区间[a,b]上Riemann可积；⑤
n函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，则极限limT?0i?1?f(?i)?xi不一定存在，
即函数f(x)在闭区间[a,b]上不一定Riemann可积, 如狄利克雷函数?1D(x)???0,当x为有理数，，当x为无理数.
2、计算
(1)常规计算法
①牛顿-莱布尼兹公式法
?baf(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a),其中F?(x)?f(x). 或
?baf(x)dx?b??f(x)dx?b??F(x)?C??F(b)?F(a)aa,其中
F?(x)?f(x),该式说明为什么函数f(x)的所有原函数叫做函数f(x)的
不定积分,并且函数f(x)的不定积分用符号?f(x)dx表示. ②分步积分法
?baf(x)dg(x)??f(x)g(x)?a?b?bag(x)df(x),x?[a,b].
③换元积分法 第一换元积分法 ?f??(x)?d??(x)??ab?dcf?u?d?u?，??b??d. 其中u??(x)，??a??c，
第二换元积分法
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?baf(x)dx????f(?(t))??(t)dt,a??(?),b??(?).
(2)对称性计算法:
当函数f(x)在对称闭区间[?a,a]上为奇函数(f(?x)??f(x))时,则
?a?af(x)dx?0;当函数f(x)在对称闭区间[?a,a]上为偶函数
a(f(?x)?f(x))时,则?二、解证题方法
?af(x)dx?2?f(x)dx.
0a例1 （上海大学2004年）给出有界函数f(x)在闭区间[a,b]上Riemann可积的定义。试举出一个在闭区间[a,b]上有界但不可积的例子，并给出证明.
证明 Riemann可积的定义: 设在闭区间[a,b]上的有界函数为f(x),
n对???0,存在??0,当T??时,有?f(?i)?xi?J??,其中J是一
i?1个常数, T???1,?2,?,?n?为闭区间[a,b]的任意分割,?i??i,a?x0?x1???xn?b ,?i?[xi?1,xi],?xi?xi?xi?1,T?max??xi?.
1?i?n在闭区间
[a,b]上有界但不可积的例子
?0,f(x)???1，存
在
若x为无理数,x??0,1?若x为有理数,x??0,1?,
对
???0.
??b?a,当T??时,有
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